Многогранник

Многогранник или полиэдр — обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, но иногда так же называют тело, ограниченное этой поверхностью.

Определение

Многогранник, точнее трёхмерный многогранник — совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном евклидовом пространстве, такая, что:

каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);
связность: от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника^[1].

Простейшим примером многогранника является выпуклый многогранник, то есть граница такого ограниченного подмножества евклидова пространства, которое является пересечением конечного числа полупространств.

Варианты значения

Приведённое определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник, для которого возможны следующие два варианта:

Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
Части плоскости, ограниченные ломаными.

В первом случае мы получаем понятие звёздчатый многогранник. Во втором — многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником. Отсюда возникает третье определение многогранника, как самого геометрического тела.

Связанные определения

Многогранник с n гранями называют n-гранником. В частности, тетраэдр — четырёхгранник, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т. д.

Выпуклый многогранник

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер.

Вариации и обобщения

Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности; такое обобщение обычно называется n-мерным многогранником.
Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер.
Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
Сферический многогранник.

См. также

Примечания

↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Литература

Тиморин В.А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0.
Ласло Фейеш Тот. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве = Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum / пер. с нем. Н. М. Макаровой, под ред. И. М. Яглома. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958.
Веннинджер, Магнус. Модели многогранников. — М.: Мир, 1974. — С. 236.
Гончар В.В. Модели многогранников. — М.: Аким, 1997. — С. 64. — ISBN 5-85399-032-2.
- Переиздание: Ростов-на-Дону: Феникс, 2010, ISBN 978-5-222-17061-8.

[1] Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

[1]