Биссектриса

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных угла. Можно также определить биссектрису как геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон этого угла[1].
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам.
Связанные определения
- Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с его стороной, не являющейся стороной этого угла, называется основанием биссектрисы.
- В любом треугольнике [math]\displaystyle{ ABC }[/math], кроме внутренних биссектрисы или просто биссектрис, можно провести и внешние биссектри́сы, то есть биссектрисы углов, смежных с внутренними углами треугольника. При этом внутренняя и внешняя биссектриса одного и того же угла перпендикулярны.
- Проведение в данном треугольнике всех трёх его внешних биссектрис до их точек пересечения друг с другом в центрах вневписанных окружностей (соответственно [math]\displaystyle{ J_A, J_B, J_C }[/math]) образует новый треугольник (см. рис.) — треугольник трёх внешних биссектрис. Это — новый треугольник центров вневписанных окружностей с вершинами [math]\displaystyle{ J_A, J_B, J_C }[/math], которые касаются соответственно сторон [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] исходного треугольника.
- Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
- Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника [math]\displaystyle{ \Delta J_AJ_BJ_C }[/math]
- Точка пересечения симедиан треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей [math]\displaystyle{ J_A, J_B, J_C }[/math] , является центром эллипса Мандарта. Эту точку называют по-английски middlespoint, по-немецки — «Mittelpunkt». Она открыта в 1836-ом году Христианом Генрихом фон Нагелем (Christian Heinrich von Nagel).[2][3]
Свойства

Свойства точек пересечения биссектрис
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности (инцентре).
- Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
- Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
- Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности (он же — инцентр или точка пресечения внутренних биссектрис треугольника). Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.
Свойства, связанные с углами
- Каждая внутренняя (внешняя) биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот внутренний (внешний) угол треугольника пополам (на две равные половинки).
- Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам.
- Внутренняя биссектриса угла треугольника изогонально сопряжена самой себе.
Свойства, связанные с дугами
- Свойство биссектрисы вписанного угла: биссектриса вписанного угла делит на две равные части дугу, на которую этот угол опирается.
- То же свойство верно и для биссектрисы центрального угла.
Свойства биссектрис равнобедренного треугольника
- Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.
- Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике внутренняя биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
- Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной внутреннему углу стороне — основанию, если треугольник равнобедренный.
- У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам.
- У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны.
Свойства оснований биссектрис
- Теорема о биссектрисе (см. рис.): Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону (то есть делит своим основанием противоположную сторону) в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон. То есть [math]\displaystyle{ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC} }[/math].
- Теорема о биссектрисе — частный случай теоремы Штейнера.
- Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника (Одна и только одна биссектриса внешнего угла треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный. У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам. Других возможностей нет).
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону изотомически по отношению к антибиссектрисе того же угла.
- Окружности, построенные, как на диаметре, на отрезке, соединяющем основания внутренней и внешней биссектрисы, выпущенных из одного угла, проходят через точки Аполлония.
- Через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания трёх биссектрис.
- В общем случае не пересекаются в одной точке 3 перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через основания 3 внутренних его биссектрис, которые лежат на этих сторонах. [4]
Свойства осей биссектрис
- Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис.
- Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис.
Свойство проекции одной вершины на биссектрисы двух других вершин
- Если из двух вершин треугольника провести сразу две пары биссектрис (две внутренние и две внешние), а затем на четыре полученные биссектрисы ортогонально спроектировать третью вершину, тогда полученные четыре точки проекций вершины на биссектрисы будут лежать на одной прямой (коллинеарны)[5]. Эта прямая является средней линией треугольника, параллельной той стороне, концами которой являются упомянутые выше две вершины.
Замечание
- В утверждении: " Точка Лемуана треугольника лежит на прямой Обера четырёхсторонника, образованного четырьмя осями биссектрис",- не понятно, о каких конкретно четырёх осях биссектрис идет речь. Видимо, речь идет о каких-то осях биссектрис четырёх треугольников, фигурирующих в теореме Микеля. Возможно, что речь идет об осях внешних биссектрис или антиортовых осях этих треугольниов.
Другие свойства
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то внутренняя биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
- Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[6] причём даже при наличии трисектора.[7]
- Три внешние биссектрисы любого треугольника пересекаются в трёх разных точках, которые являются центрами вневписанных окружностей исходного треугольника или вершинами так называемого треугольника трёх внешних биссектрис исходного треугольника[8].
- Три продолжения трёх биссектрис исходного треугольника, через три их основания до их пересечения в трёх вершинах его треугольника трёх внешних биссектрис оказываются в последнем треугольнике в качестве трёх высот.
Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам треугольника
Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно пересекающихся в одной точке
- Каждый кливер есть отрезок, один конец которого находится в середине стороны треугольника и который параллелен биссектрисе угла, противоположного этой стороне. Три кливера, подобных описанному выше, пересекаются в центре Шпикера.
- Если проведен отрезок с одним концом в точке касания вписанной окружности треугольника с его стороной в направлении параллельно биссектрисе угла, противоположного этой стороне, а затем для двух других сторон построены аналогичные отрезки, то эти три отрезка пересекаются в одной точке[9].
Тройки отрезков, параллельных трем бессектрисам и одновременно образующих 2 треугольника
- Во всякий треугольник ABC можно вписать 2 треугольника, 3 стороны которых параллельны 3 биссектрисам треугольника ABC. Эти треугольники имеют общую окружность типа окружности Эйлера, то есть 6 их вершин лежат на 1 окружности.[10]
Длина биссектрис в треугольнике
Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.
- [math]\displaystyle{ l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\frac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b} }[/math], где [math]\displaystyle{ p }[/math] — полупериметр.
- [math]\displaystyle{ l_c = \sqrt{ab-a_lb_l} }[/math]
- [math]\displaystyle{ l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b} }[/math]
- [math]\displaystyle{ l_c = \frac {2a_lb_l\cos\frac{\gamma}{2}}\sqrt{a_l^2+b_l^2-2a_lb_l\cos{(\gamma})} }[/math]
- [math]\displaystyle{ l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}} }[/math]
Для трёх биссектрис углов [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math] с длинами соответственно [math]\displaystyle{ l_a, l_b, }[/math] и [math]\displaystyle{ l_c }[/math], справедлива формула[11]
- [math]\displaystyle{ \frac{(b+c)^2}{bc}l_a^2+ \frac{(c+a)^2}{ca}l_b^2+\frac{(a+b)^2}{ab}l_c^2 = (a+b+c)^2. }[/math],
- [math]\displaystyle{ w_c^2=a_w \cdot b_w-ab=CE^2=BE \cdot AE-ab }[/math],
- Инцентр (точка пересечения трёх внутренних биссектрис треугольника) делит внутреннюю биссектрису угла [math]\displaystyle{ A }[/math] в отношении [math]\displaystyle{ \frac{b+c}{a} }[/math],
где:
- [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] — стороны треугольника против вершин [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] соответственно,
- [math]\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma }[/math] — внутренние углы треугольника при вершинах [math]\displaystyle{ A, B, C }[/math] соответственно,
- [math]\displaystyle{ h_c }[/math] — высота треугольника, опущенная на сторону [math]\displaystyle{ c }[/math].
- [math]\displaystyle{ l_c }[/math] — длина внутренней биссектрисы, проведённой к стороне [math]\displaystyle{ c }[/math],
- [math]\displaystyle{ a_l, b_l }[/math] — длины отрезков, на которые внутренняя биссектриса [math]\displaystyle{ l_c }[/math] делит сторону [math]\displaystyle{ c }[/math],
- [math]\displaystyle{ w_c }[/math] — длина внешней биссектрисы, проведённой из вершины [math]\displaystyle{ C }[/math] к продолжению стороны [math]\displaystyle{ AB }[/math].
- [math]\displaystyle{ a_w, b_w }[/math] — длины отрезков, на которые внешняя биссектриса [math]\displaystyle{ w_c }[/math] делит сторону [math]\displaystyle{ c=AB }[/math] и её продолжение до основания самой биссектрисы.
- Если медиана [math]\displaystyle{ m }[/math], высота [math]\displaystyle{ h }[/math] и внутренняя биссектриса [math]\displaystyle{ t }[/math] выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math], тогда[12]:p.122,#96
- [math]\displaystyle{ 4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2). }[/math]
Длина частей биссектрис в треугольнике
- Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно [math]\displaystyle{ l_{c0}=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}= \sqrt{(p-c)^2 + r^2}= \sqrt{ab - 4Rr} }[/math], где R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а γ — угол вершины C.
- Формулы последнего пункта по сути дают длину части биссектрисы от вершины до точки их пересечения (до центра вписанной окружности или до инцентра).
- Эту формулу и формулу для второй части внутренней биссектрисы можно также найти на основе следующего факта:
- Инцентр делит внутреннюю биссектрису угла [math]\displaystyle{ A }[/math] в отношении [math]\displaystyle{ \frac{b+c}{a} }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math], [math]\displaystyle{ c }[/math] — стороны треугольника.
Уравнения биссектрис
- Если две смежные стороны треугольника записаны уравнениями [math]\displaystyle{ y_1=a_1x+b_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ y_2=a_2x+b_2 }[/math], то в явном виде биссектрисы представимы в виде функций[13]:
- [math]\displaystyle{ y=\frac{a_1\sqrt{a_2^2+1}\pm a_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}}\, x + \frac{b_1\sqrt{a_2^2+1}\pm b_2\sqrt{a_1^2+1}}{\sqrt{a_2^2+1}\pm \sqrt{a_1^2+1}} }[/math]
См. также
- Антибиссектриса
- Высота (геометрия)
- Высота треугольника
- Инцентр
- Медиана треугольника
- Симедиана
- Теорема о биссектрисе
- Ось внешних биссектрис или антиортовая ось
- Треугольник
- Треугольник трёх внешних биссектрис
- Центроид
- Чевиана
Примечания
- ↑ Иванов А. Б. Биссектриса угла // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1: А — Г. — С. 496. — 1152 стб. : ил. — 150 000 экз.
- ↑ Kimberling, Clark (1994), Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine Т. 67 (3): 163–187, DOI 10.2307/2690608.
- ↑ v. Nagel, C. H. (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise, Leipzig.
- ↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 105.
- ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 6. Глава I, п.8
- ↑ Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? Архивная копия от 18 октября 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор Архивная копия от 26 августа 2015 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- ↑ Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100
- ↑ Решения заданий первого этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников 2015-2016 г. по математике. Задача 10.3, С. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf
- ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. — Одесса, 1902. — С. 26. Глава I. Упражнения. п.33
- ↑ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, March 2009, 115—116.
- ↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
- ↑ Уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми. Задачи повышенной трудности . Прикладная математика. Дата обращения: 3 декабря 2021. Архивировано 3 декабря 2021 года.
Литература
- Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. — М.: Наука, 1965. — 56 с.
- Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0.