Комплексное число

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re, Im и Мнимая величина.

Иерархия чисел

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание; о двойном ударении см. примечание) — числа вида [math]\displaystyle{ a+bi, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — вещественные числа, [math]\displaystyle{ i }[/math] — мнимая единица, то есть число, для которого выполняется равенство: [math]\displaystyle{ i^2=-1. }[/math] Множество комплексных чисел обычно обозначается символом [math]\displaystyle{ \mathbb{C}. }[/math] Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид [math]\displaystyle{ a+0 i. }[/math] Главное свойство [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени ([math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math]) имеет [math]\displaystyle{ n }[/math] корней. Доказано, что система комплексных чисел логически непротиворечива.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Удобно представлять комплексные числа [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] точками на комплексной плоскости; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение [math]\displaystyle{ i }[/math] для мнимой единицы, Декарт, Гаусс. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы.

Комплексная арифметика

Связанные определения

Всякое комплексное число [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] состоит из двух компонентов:

• Величина [math]\displaystyle{ a }[/math] называется вещественной частью числа [math]\displaystyle{ z }[/math] и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,z }[/math] или [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(z). }[/math] В источниках иногда встречается готический символ: [math]\displaystyle{ \Re(z). }[/math]
  • Если [math]\displaystyle{ a=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ z }[/math] называется чисто мнимым числом. Вместо [math]\displaystyle{ 0+bi }[/math] обычно пишут просто [math]\displaystyle{ bi. }[/math] В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках мнимыми могут называться любые комплексные числа [math]\displaystyle{ z=a+bi, }[/math] у которых [math]\displaystyle{ b\ne 0. }[/math] Поэтому термин мнимое число неоднозначен и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
• Величина [math]\displaystyle{ b }[/math] называется мнимой частью числа [math]\displaystyle{ z }[/math] и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}\,z }[/math] или [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}(z). }[/math] В источниках иногда встречается готический символ: [math]\displaystyle{ \Im(z). }[/math]
  • Если [math]\displaystyle{ b=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ z }[/math] является вещественным числом. Вместо [math]\displaystyle{ a+0i }[/math] обычно пишут просто [math]\displaystyle{ a. }[/math] Например, комплексный ноль [math]\displaystyle{ 0+0i }[/math] обозначается просто как [math]\displaystyle{ 0. }[/math]

Противоположным для комплексного числа [math]\displaystyle{ z=a+bi }[/math] является число [math]\displaystyle{ -z=-a-bi. }[/math] Например, для числа [math]\displaystyle{ 1-2i }[/math] противоположным будет число [math]\displaystyle{ -1+2i. }[/math]

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] вытекало [math]\displaystyle{ a+c\lt b+c }[/math]). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно:

• [math]\displaystyle{ a+bi=c+di }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ a=c }[/math] и [math]\displaystyle{ b=d }[/math] (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ \left(a+bi\right) + \left(c+di\right) = \left(a+c\right) + \left(b+d\right)i, }[/math]

[math]\displaystyle{ \left(a+bi\right) - \left(c+di\right) = \left(a-c\right) + \left(b-d\right)i. }[/math]

Следующая таблица показывает основные свойства сложения для любых комплексных [math]\displaystyle{ u,v,w. }[/math]

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	[math]\displaystyle{ u+v = v+u }[/math]
Ассоциативность (сочетательность)	[math]\displaystyle{ u+(v+w) = (u+v)+w }[/math]
Свойство нуля	[math]\displaystyle{ u+0 = u }[/math]
Свойство противоположного элемента	[math]\displaystyle{ u+(-u)=0 }[/math]
Выполнение вычитания через сложение	[math]\displaystyle{ u-v=u+(-v) }[/math]

Умножение

Определим произведение комплексных чисел [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] и [math]\displaystyle{ c+di\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ (a+bi) \cdot (c+di) = ac+bci+adi+bdi^2 = (ac+bdi^2) +(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i. }[/math]

Следующая таблица показывает основные свойства умножения для любых комплексных [math]\displaystyle{ u,v,w. }[/math]

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	[math]\displaystyle{ u \cdot v = v \cdot u }[/math]
Ассоциативность (сочетательность)	[math]\displaystyle{ u \cdot (v \cdot w) = (u \cdot v) \cdot w }[/math]
Свойство единицы	[math]\displaystyle{ u \cdot 1 = u }[/math]
Свойство нуля	[math]\displaystyle{ u \cdot 0 = 0 }[/math]
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	[math]\displaystyle{ u \cdot (v+w)=u \cdot v + u \cdot w }[/math]

Правила для степеней мнимой единицы:

[math]\displaystyle{ i^2=-1; \; i^3=-i; \; i^4=1; \; i^5 = i }[/math] и т. д.

То есть для любого целого числа [math]\displaystyle{ n }[/math] верна формула [math]\displaystyle{ i^{n}=i^{n \bmod 4} }[/math], где выражение [math]\displaystyle{ n \bmod 4 }[/math] означает получение остатка от деления [math]\displaystyle{ n }[/math] на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

[math]\displaystyle{ (a+0i) + (b+0i)\cdot (0+1i) = (a+0i) + (0+bi) = a+bi. }[/math]

Деление

Комплексное число [math]\displaystyle{ \bar z=x-iy }[/math] называется сопряжённым к комплексному числу [math]\displaystyle{ z=x+iy }[/math] (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа [math]\displaystyle{ a+bi, }[/math] кроме нуля, можно найти обратное к нему комплексное число [math]\displaystyle{ \frac{1}{a+bi}. }[/math] Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число [math]\displaystyle{ a-bi, }[/math] комплексно сопряжённое знаменателю

[math]\displaystyle{ \frac{1}{a+bi}= \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}= \frac{a-bi}{a^2+b^2}= \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i. }[/math]

Определим результат деления комплексного числа [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] на ненулевое число [math]\displaystyle{ c+di\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i. }[/math]

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени [math]\displaystyle{ n\gt 0 }[/math] с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно [math]\displaystyle{ n }[/math] комплексных корней (основная теорема алгебры).

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из ненулевого числа имеет [math]\displaystyle{ n }[/math] различных комплексных значений. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменного.

Замечания

Число [math]\displaystyle{ i }[/math] не является единственным числом, квадрат которого равен [math]\displaystyle{ -1. }[/math] Число [math]\displaystyle{ -i }[/math] также обладает этим свойством.

Выражение [math]\displaystyle{ \sqrt{-1}, }[/math] ранее часто использовавшееся вместо [math]\displaystyle{ i, }[/math] в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как [math]\displaystyle{ 5+i\sqrt{3}, }[/math] а не [math]\displaystyle{ 5+\sqrt{-3}, }[/math] несмотря на то, что даже в XIX веке второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

[math]\displaystyle{ \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -3 \right) \cdot \left( -3 \right)} = \sqrt{ \left( -3 \right)^2} = \sqrt{9}= 3. }[/math]

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из [math]\displaystyle{ -3 }[/math] определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

[math]\displaystyle{ \left( i \sqrt{3} \right) \cdot \left( i \sqrt{3} \right) = \left( i \cdot \sqrt{3} \right)^2 = i^2 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 = -3. }[/math]

Геометрическое представление

Комплексная плоскость

Основная статья: Комплексная плоскость

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу [math]\displaystyle{ z=x+iy }[/math] соответствует точка плоскости с координатами [math]\displaystyle{ \left\{ x, y \right\} }[/math] (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Модуль [math]\displaystyle{ r }[/math] и аргумент [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние [math]\displaystyle{ r }[/math] до начала координат (модуль) и угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргумент).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Пример: умножение на [math]\displaystyle{ i }[/math] поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на [math]\displaystyle{ -i }[/math] радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа [math]\displaystyle{ z=x+iy }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \left| z \right| }[/math] (иногда [math]\displaystyle{ r }[/math] или [math]\displaystyle{ \rho }[/math]) и определяется выражением

[math]\displaystyle{ \left| z \right| = \sqrt{x^2+y^2}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ z }[/math] является вещественным числом, то [math]\displaystyle{ \left| z \right| }[/math] совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных [math]\displaystyle{ z, z_1, z_2 }[/math] имеют место следующие свойства модуля:

1) [math]\displaystyle{ \left| z \right| \geqslant 0 }[/math], причём [math]\displaystyle{ \left| z \right| = 0 }[/math] только при [math]\displaystyle{ z = 0; }[/math]

2) [math]\displaystyle{ \left| z_1 + z_2 \right| \leqslant \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right| }[/math] (неравенство треугольника);

3) [math]\displaystyle{ \left| z_1 \cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right|; }[/math]

4) [math]\displaystyle{ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}; }[/math]

5) для пары комплексных чисел [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] модуль их разности [math]\displaystyle{ \left| z_1-z_2 \right| }[/math] равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа [math]\displaystyle{ z }[/math] связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

[math]\displaystyle{ -|z| \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant |z|; \quad -|z| \leqslant \operatorname{Im}(z) \leqslant |z|; \quad |z| \leqslant |\operatorname{Re}(z)| + |\operatorname{Im}(z)|. }[/math]

Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа [math]\displaystyle{ z }[/math] измеряется в радианах и обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{Arg} \left(z\right) }[/math]. Из этого определения следует, что

[math]\displaystyle{ \operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}; \quad \cos \varphi = \frac {x} { \left| z \right|}; \quad \sin \varphi = \frac {y} {\left| z \right|}. }[/math]

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа [math]\displaystyle{ z }[/math] аргумент определяется с точностью до [math]\displaystyle{ 2 \pi k }[/math], где [math]\displaystyle{ k }[/math] — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], что [math]\displaystyle{ -\pi\lt \varphi\leqslant\pi. }[/math] Главное значение может обозначаться [math]\displaystyle{ \operatorname{arg} \left( z \right) }[/math].

Некоторые свойства аргумента:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{Arg} \left( z \right); }[/math]

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2); }[/math]

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2} = \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2). }[/math]

Сопряжённые числа

Основная статья: Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число [math]\displaystyle{ z }[/math] равно [math]\displaystyle{ x+iy, }[/math] то число [math]\displaystyle{ \bar z=x-iy }[/math] называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к [math]\displaystyle{ z }[/math] (обозначается также [math]\displaystyle{ z^* }[/math]). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знаком:

• [math]\displaystyle{ \left| \bar{z} \right| = \left| z \right|;\quad \operatorname{Arg}(\bar{z}) = - \operatorname{Arg}(z). }[/math]

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства:

• [math]\displaystyle{ z = \bar{z} }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ z }[/math] — вещественное число.
• [math]\displaystyle{ \bar{\bar{z}} = z }[/math] (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z:

• [math]\displaystyle{ z \cdot \bar z = \left| z \right|^2 = x^2 + y^2. }[/math]

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число:

• [math]\displaystyle{ z + \bar z = 2 \operatorname{Re} \left( z \right) = 2x. }[/math]

Другие соотношения:

• [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\operatorname{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}. }[/math]
• [math]\displaystyle{ \overline{z_1 + z_2}=\bar z_1 + \bar z_2; }[/math]
• [math]\displaystyle{ \overline{z_1 - z_2}=\bar z_1 - \bar z_2; }[/math]
• [math]\displaystyle{ \overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2; }[/math]
• [math]\displaystyle{ \overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2; }[/math]

Или, в общем виде: [math]\displaystyle{ \overline{p \left( z \right)} = p \left(\bar z \right), }[/math] где [math]\displaystyle{ p \left( z \right) }[/math] — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число [math]\displaystyle{ z }[/math] является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число [math]\displaystyle{ \overline{z} }[/math] тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары.

Пример

Тот факт, что произведение [math]\displaystyle{ z \bar z }[/math] есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение, например:

[math]\displaystyle{ \frac{2+5i}{3-4i} = \frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{-14+23i}{25} = -\frac{14}{25} + \frac{23}{25}i. }[/math]

Формы представления комплексного числа

Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа [math]\displaystyle{ z }[/math] в виде [math]\displaystyle{ x+iy; }[/math] такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма

Тригонометрическое представление

Если вещественную [math]\displaystyle{ x }[/math] и мнимую [math]\displaystyle{ y }[/math] части комплексного числа выразить через модуль [math]\displaystyle{ r = \left| z \right| }[/math] и аргумент [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ x=r\cos\varphi }[/math], [math]\displaystyle{ y=r\sin\varphi }[/math]), то всякое комплексное число [math]\displaystyle{ z }[/math], кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме:

[math]\displaystyle{ z=r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) }[/math]

Как уже сказано выше, для нуля аргумент [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] не определён; для ненулевого числа [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] определяется с точностью до целого кратного [math]\displaystyle{ 2\pi. }[/math]

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера:

[math]\displaystyle{ e^{i\varphi}=\cos \varphi+i\sin \varphi, }[/math]

где [math]\displaystyle{ e }[/math] — число Эйлера, [math]\displaystyle{ \cos }[/math], [math]\displaystyle{ \sin }[/math] — косинус и синус, [math]\displaystyle{ e^{i\varphi} }[/math] — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

[math]\displaystyle{ z=re^{i\varphi}. }[/math]

Следствия

(1) Модуль выражения [math]\displaystyle{ e^{i\varphi}, }[/math] где число [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] вещественно, равен 1.

(2) [math]\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{ e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2};\quad\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i} }[/math] — при существенно комплексном аргументе [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

Пример. Представим в тригонометрической и показательной форме число [math]\displaystyle{ z=-1-\sqrt{3}i\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2; }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi=-\pi+\operatorname{arctg}\Bigl(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\Bigr)=-\pi+\operatorname{arctg}(\sqrt{3})=-\frac{2\pi}{3} }[/math] (поскольку [math]\displaystyle{ z }[/math] находится в III координатной четверти).

Отсюда:

[math]\displaystyle{ z = 2\left(\cos \frac{-2\pi}{3} + i \sin \frac{-2\pi}{3}\right) = 2e^{i \frac{-2\pi}{3}}. }[/math]

Формула Муавра и извлечение корней

Основная статья: Формула Муавра

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

[math]\displaystyle{ z^n = \left[ r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) \right]^n = r^n \left( \cos n\varphi + i\sin n\varphi \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ r }[/math] — модуль, а [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом [math]\displaystyle{ n }[/math], не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из ненулевого комплексного числа:

[math]\displaystyle{ \begin{alignat}{2} z^{1/n} &= \left[ r \left( \cos \left( \varphi + 2\pi k \right) + i \sin \left( \varphi + 2\pi k \right) \right) \right]^{1/n}= \\ & =\sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \\ \end{alignat} }[/math]

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

где k принимает все целые значения от [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] до [math]\displaystyle{ k=n-1 }[/math]. Это значит, что корни [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального [math]\displaystyle{ n, }[/math] и их количество равно [math]\displaystyle{ n }[/math]. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольника, вписанного в окружность радиуса [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r} }[/math] с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Если в формуле Муавра в качестве аргумента [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] выбрано его главное значение, то значение корня при [math]\displaystyle{ k=0 }[/math] называется главным значением корня. Например, главное значение числа [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2+11i} }[/math] равно [math]\displaystyle{ 2+i. }[/math]

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для [math]\displaystyle{ n=2. }[/math] Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При [math]\displaystyle{ b\neq 0 }[/math] корнями из числа [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] является пара чисел: [math]\displaystyle{ \pm(c+di), }[/math] где:

[math]\displaystyle{ c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} , }[/math]

[math]\displaystyle{ d = \sgn (b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} . }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \sgn }[/math] — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением [math]\displaystyle{ c+di }[/math] в квадрат. Число [math]\displaystyle{ c+di }[/math] является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из [math]\displaystyle{ 3+4i }[/math] формулы дают два значения: [math]\displaystyle{ 2+i;\; -2-i. }[/math]

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: [math]\displaystyle{ 5+\sqrt{-15} }[/math] и [math]\displaystyle{ 5-\sqrt{-15}. }[/math] В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного».

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение [math]\displaystyle{ x^3 = 15x + 4 }[/math] имеет вещественный корень [math]\displaystyle{ x = 4, }[/math] однако по формулам Кардано получаем: [math]\displaystyle{ x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}. }[/math] Бомбелли обнаружил, что [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2 \pm 11i}=2 \pm i, }[/math] так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел.

Выражения, представимые в виде [math]\displaystyle{ a+b\sqrt{-1}, }[/math] появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где [math]\displaystyle{ b\neq0, }[/math] стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты.

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени [math]\displaystyle{ n }[/math] из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ [math]\displaystyle{ i }[/math] для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт). К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения).

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного..

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции

Аналитические функции

Основная статья: Комплексный анализ

Комплексная функция одной переменной — это функция [math]\displaystyle{ w=f(z) }[/math], которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам [math]\displaystyle{ z }[/math] этой области комплексные значения [math]\displaystyle{ w }[/math]. Примеры:

[math]\displaystyle{ w = z^2+z+1;\quad w = z+\frac{1}{z}. }[/math]

Каждая комплексная функция [math]\displaystyle{ w = f(z) = f(x+iy) }[/math] может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: [math]\displaystyle{ f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y), }[/math] определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции [math]\displaystyle{ u }[/math], [math]\displaystyle{ v }[/math] называются компонентами комплексной функции [math]\displaystyle{ f(z). }[/math] Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных.

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль [math]\displaystyle{ |w|=|f(z)|, }[/math] то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функции.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

[math]\displaystyle{ \sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}. }[/math]

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль.

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественными.

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ z }[/math] комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от пути.

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• [math]\displaystyle{ w=z+c }[/math] — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки [math]\displaystyle{ c. }[/math]
• [math]\displaystyle{ w=uz, }[/math] где [math]\displaystyle{ u }[/math] — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу [math]\displaystyle{ u; }[/math]
• [math]\displaystyle{ w=\bar z }[/math] — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции [math]\displaystyle{ w=uz+c }[/math] и [math]\displaystyle{ w=u\bar z+c }[/math] дают общее выражение для движения на комплексной плоскости.

Другие линейные преобразования:

• [math]\displaystyle{ w=rz }[/math], где [math]\displaystyle{ r }[/math] — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом [math]\displaystyle{ r }[/math], если [math]\displaystyle{ r\gt 1, }[/math] или сжатие в [math]\displaystyle{ \tfrac1r }[/math] раз, если [math]\displaystyle{ r\lt 1; }[/math]
• преобразования [math]\displaystyle{ w=az+b }[/math] и [math]\displaystyle{ w=a\bar z+b, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
• преобразование [math]\displaystyle{ w=az+b\bar z+c, }[/math] где [math]\displaystyle{ |a|\ne |b|, }[/math] — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости (при [math]\displaystyle{ |a| = |b| }[/math] преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразования:

[math]\displaystyle{ w=\frac{az+b}{cz+d}. }[/math]

При этом [math]\displaystyle{ ad \ne bc }[/math] (иначе функция [math]\displaystyle{ w(z) }[/math] вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности, в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот.

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия [math]\displaystyle{ w=1/\bar z, }[/math] функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например:

• Три (различные) точки [math]\displaystyle{ z_1,z_2,z_3 }[/math] лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

[math]\displaystyle{ \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} }[/math] является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки [math]\displaystyle{ z_1,z_2,z_3,z_4 }[/math] лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение [math]\displaystyle{ \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4} }[/math] является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: [math]\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, }[/math] то четвёртая определяется равенством: [math]\displaystyle{ z_4 = z_1 - z_2 + z_3. }[/math]

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид:

[math]\displaystyle{ z = ut + v, }[/math] где [math]\displaystyle{ u,v }[/math] — комплексные числа, [math]\displaystyle{ u \ne 0, t }[/math] — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми [math]\displaystyle{ z = ut + v }[/math] и [math]\displaystyle{ z = u't + v' }[/math] равен [math]\displaystyle{ \operatorname{arg}(u'/u). }[/math] В частности, прямые перпендикулярны, только когда [math]\displaystyle{ u'/u }[/math] — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ u' / u }[/math] есть вещественное число; если при этом [math]\displaystyle{ (v'-v)/u }[/math] также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая [math]\displaystyle{ z = ut + v }[/math] рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение [math]\displaystyle{ t=\operatorname{Im}\frac{z-v}{u} }[/math] положительно, на другой — отрицательно.

Уравнение окружности с центром [math]\displaystyle{ c }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math] имеет чрезвычайно простой вид: [math]\displaystyle{ |z-c| = r. }[/math] Неравенство [math]\displaystyle{ |z-c| \lt r }[/math] описывает внутренность окружности (открытый круг). Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности: [math]\displaystyle{ z=c+e^{i\varphi}. }[/math]

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Множество комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R}. }[/math] Основное алгебраическое свойство [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] есть алгебраическое замыкание поля [math]\displaystyle{ \mathbb{R}. }[/math]

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] — поле комплексных чисел и тело кватернионов.

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{R}. }[/math]

Поле [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на месте.

Поля [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] — единственные связные локально компактные топологические поля.

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решение.

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида [math]\displaystyle{ a+bi, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — целые числа. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана.

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots }[/math]

Этот ряд сходится только в интервале [math]\displaystyle{ (-1;\;1) }[/math], хотя точки [math]\displaystyle{ \pm 1 }[/math] не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного [math]\displaystyle{ f(z)=\frac{1}{1+z^2}, }[/math] у которой обнаруживаются две особые точки: полюса [math]\displaystyle{ \pm i. }[/math] Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиуса.

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или Лапласа.

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение

Пример конформного преобразования

Основная статья: Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.

Квантовая механика

Основная статья: Квантовая механика

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции, Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты [math]\displaystyle{ \hat{x} }[/math] и импульса [math]\displaystyle{ \hat{ p }_x }[/math] представляет собой мнимое число:

[math]\displaystyle{ \left [ \hat{ x }, \hat{ p }_x \right ] = \hat{x} \hat{p}_x - \hat{p}_x \hat{x} = i \hbar }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — редуцированная постоянная Планка [math]\displaystyle{ h }[/math], то есть [math]\displaystyle{ h/2\pi }[/math] (постоянная Дирака).

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения.

Электротехника

Основная статья: Теория электрических цепей

Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепи. Ввиду того, что традиционно символ [math]\displaystyle{ i }[/math] в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой [math]\displaystyle{ j\, }[/math]. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из [math]\displaystyle{ (t, x) }[/math]- в [math]\displaystyle{ (\omega, k) }[/math]-пространство (где [math]\displaystyle{ t }[/math] — время, [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — угловая частота) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных.

Логические основания

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. А именно, определим [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующие.

С1: Для всяких комплексных чисел [math]\displaystyle{ u,v }[/math] определена их сумма [math]\displaystyle{ u+v. }[/math]

С2: Сложение коммутативно: [math]\displaystyle{ u+v = v+u. }[/math] Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких [math]\displaystyle{ u,v,w }[/math]».

С3: Сложение ассоциативно: [math]\displaystyle{ (u+v)+w = u+(v+w). }[/math]

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что [math]\displaystyle{ u+0 = u. }[/math]

С5: Для всякого комплексного числа [math]\displaystyle{ u }[/math] существует противоположный ему элемент [math]\displaystyle{ -u }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ u+(-u) = 0. }[/math]

С6: Для всяких комплексных чисел [math]\displaystyle{ u,v }[/math] определено их произведение [math]\displaystyle{ uv. }[/math]

С7: Умножение коммутативно: [math]\displaystyle{ uv = vu. }[/math]

С8: Умножение ассоциативно: [math]\displaystyle{ (uv)w = u(vw). }[/math]

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: [math]\displaystyle{ (u+v)w = uw+vw. }[/math]

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что [math]\displaystyle{ u \cdot 1 = u. }[/math]

С11: Для всякого ненулевого числа [math]\displaystyle{ u }[/math] существует обратное ему число [math]\displaystyle{ u' }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ u \cdot u' = 1. }[/math]

С12: Множество комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R}. }[/math] Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой [math]\displaystyle{ \mathbb{R}. }[/math]

С13: Существует элемент [math]\displaystyle{ i }[/math] (мнимая единица) такой, что [math]\displaystyle{ i^2 + 1 = 0. }[/math]

С14 (аксиома минимальности): Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — подмножество [math]\displaystyle{ \mathbb{C}, }[/math] которое: содержит [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда [math]\displaystyle{ M }[/math] совпадает со всем [math]\displaystyle{ \mathbb{C}. }[/math]

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением [math]\displaystyle{ \mathbb{R}. }[/math] Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфны.

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств.

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чисел.

Стандартная модель

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] будет соответствовать комплексному числу [math]\displaystyle{ a+bi. }[/math]

Далее определим:

1. пары [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] и [math]\displaystyle{ (c,d) }[/math] считаются равными, если [math]\displaystyle{ a=c }[/math] и [math]\displaystyle{ b=d; }[/math]
2. сложение: сумма пар [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] и [math]\displaystyle{ (c,d) }[/math] определяется как пара [math]\displaystyle{ (a+c,b+d); }[/math]
3. умножение: произведение пар [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] и [math]\displaystyle{ (c,d) }[/math] определяется как пара [math]\displaystyle{ (ac-bd, ad+bc). }[/math]

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения [math]\displaystyle{ i^2=-1\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ (a+bi)(c+di) = (a+bi)c+(a+bi)di = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + i (ad+bc). }[/math]

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами [math]\displaystyle{ (a,0) }[/math], образующими подполе [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары [math]\displaystyle{ (0,0) }[/math] и [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара [math]\displaystyle{ (0,1), }[/math] Квадрат её равен [math]\displaystyle{ \left( -1,\;0 \right), }[/math] то есть [math]\displaystyle{ -1. }[/math] Любое комплексное число можно записать в виде [math]\displaystyle{ (a, b) = (a,0)(1,0) + (b,0) (0,1) = a (1,0) + b (0,1) = a + b i. }[/math]

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}x & -y \\ y & x\end{pmatrix} }[/math]

с обычным матричным сложением и умножением. Вещественной единице будет соответствовать

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, }[/math]

мнимой единице —

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} }[/math].

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число [math]\displaystyle{ x+iy }[/math] является линейным оператором. В базисе [math]\displaystyle{ e_1=1, e_2=i }[/math] линейный оператор умножения на [math]\displaystyle{ x+iy }[/math] представляется указанной выше матрицей, так как:

[math]\displaystyle{ (x+iy)\cdot 1 = x\cdot 1 + y\cdot i; }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+iy)\cdot i = (-y)\cdot 1 + x\cdot i. }[/math]

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число.

Модель факторкольца многочленов

Рассмотрим кольцо многочленов [math]\displaystyle{ \mathbb{R}[x] }[/math] с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из [math]\displaystyle{ \mathbb{R}[x] }[/math] мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] они дают одинаковые остатки. Например, многочлен [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] будет эквивалентен константе [math]\displaystyle{ -1, }[/math] многочлен [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] будет эквивалентен [math]\displaystyle{ -x }[/math] и т. д.

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен [math]\displaystyle{ i(x)=x, }[/math] поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен [math]\displaystyle{ -1. }[/math] Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида [math]\displaystyle{ a+bx }[/math] (от деления на [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math]), который в силу сказанного можно записать как [math]\displaystyle{ a+bi. }[/math] Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел.

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда.

Алгебраическая характеризация

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math]). Кроме того, любой базис трансцендентности [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] над [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] имеет мощность континуум. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание [math]\displaystyle{ \overline\mathbb{Q}_p }[/math] поля [math]\displaystyle{ p }[/math]-адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако [math]\displaystyle{ p }[/math]-адическая норма не является архимедовой и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в [math]\displaystyle{ p }[/math]-адическом.

Вариации и обобщения

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые [math]\displaystyle{ i,j,k. }[/math] Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона».

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

• Бикватернионы
• Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
• Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания

Комментарии

Использованная литература

Литература

• Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
• Бурбаки, Н. Очерки по истории математики. — М., 1963.
• Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Ссылки

• Глейзер Г. Комплексные числа (часть 1 из 2) (неопр.). Журнал «Математика». — № 10 (2001). Дата обращения: 18 апреля 2017.
  • (часть 2 из 2), «Математика» № 11 (2001).
• Понтрягин Л. Комплексные числа // Квант. — 1982. — № 3.
• Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows (неопр.). Дата обращения: 17 января 2018.
• Этьен Жис, Йос Лейс, Орельян Альварез. Фильм Dimensions. Главы 5 и 6: Комплексные числа. (рус.)