Неравенство

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1].

Строгие неравенства

[math]\displaystyle{ a \lt b }[/math] — означает, что [math]\displaystyle{ a }[/math] меньше, чем [math]\displaystyle{ b. }[/math]
[math]\displaystyle{ a \gt b }[/math] — означает, что [math]\displaystyle{ a }[/math] больше, чем [math]\displaystyle{ b. }[/math]

Неравенства [math]\displaystyle{ a \gt b }[/math] и [math]\displaystyle{ b \lt a }[/math] равносильны. Говорят, что знаки [math]\displaystyle{ \gt }[/math] и [math]\displaystyle{ \lt }[/math] противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что [math]\displaystyle{ \lt }[/math] заменено на [math]\displaystyle{ \gt }[/math] или наоборот.

Нестрогие неравенства

[math]\displaystyle{ a \leqslant b }[/math] — означает, что [math]\displaystyle{ a }[/math] меньше или равно [math]\displaystyle{ b. }[/math]
[math]\displaystyle{ a \geqslant b }[/math] — означает, что [math]\displaystyle{ a }[/math] больше или равно [math]\displaystyle{ b. }[/math]

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

[math]\displaystyle{ a \neq b }[/math] — означает, что [math]\displaystyle{ a }[/math] не равно [math]\displaystyle{ b }[/math].
[math]\displaystyle{ a \gg b }[/math] — означает, что величина [math]\displaystyle{ a }[/math] намного больше, чем [math]\displaystyle{ b. }[/math]
[math]\displaystyle{ a \ll b }[/math] — означает, что величина [math]\displaystyle{ a }[/math] намного меньше, чем [math]\displaystyle{ b. }[/math]

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

[math]\displaystyle{ a\lt b\lt c }[/math] — это краткая запись пары неравенств: [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] и [math]\displaystyle{ b\lt c. }[/math]

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных [math]\displaystyle{ (x,y,\dots). }[/math] Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство [math]\displaystyle{ 18x \lt 414 }[/math] — алгебраическое первой степени, неравенство [math]\displaystyle{ 2x^3-7x+6 \gt 0 }[/math] — алгебраическое третьей степени, неравенство [math]\displaystyle{ 2^x \gt x+4 }[/math] — трансцендентное^[2].

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений^[1]:

К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из [math]\displaystyle{ a+b\lt c }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ a\lt c-b. }[/math]
Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] и [math]\displaystyle{ c\lt d, }[/math] то [math]\displaystyle{ a+c\lt b+d. }[/math] Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

Транзитивность: если [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] и [math]\displaystyle{ b\lt c, }[/math] то [math]\displaystyle{ a\lt c }[/math] и аналогично для прочих знаков.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Пусть даны функции [math]\displaystyle{ f\left(x \right) }[/math] и [math]\displaystyle{ g\left(x \right) }[/math]. Если требуется найти все числа [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство [math]\displaystyle{ f \left(\alpha \right) \gt g \left(\alpha \right) }[/math], то говорят, что требуется решить неравенство

[math]\displaystyle{ f \left(x \right) \gt g \left(x \right). }[/math]

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

[math]\displaystyle{ x^2\lt 4 }[/math] выполняется при [math]\displaystyle{ -2\lt x\lt 2. }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2\gt 4 }[/math] выполняется, если [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math] или [math]\displaystyle{ x\lt -2. }[/math]

[math]\displaystyle{ x^2\lt -4 }[/math] не выполняется никогда (решений нет).

[math]\displaystyle{ x^2\gt -4 }[/math] выполняется при всех [math]\displaystyle{ x }[/math] (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство [math]\displaystyle{ x\gt 3 }[/math] возвести в квадрат: [math]\displaystyle{ x^2\gt 9, }[/math] то появится ошибочное решение [math]\displaystyle{ x\lt -3, }[/math] не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: [math]\displaystyle{ ax\gt b }[/math] или [math]\displaystyle{ ax\lt b, }[/math] где [math]\displaystyle{ a \ne 0 }[/math] (работа со знаками [math]\displaystyle{ \geqslant }[/math] и [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на [math]\displaystyle{ a }[/math] и, если [math]\displaystyle{ a\lt 0, }[/math] измените знак неравенства на противоположный^[3]. Пример:

[math]\displaystyle{ 5x-11\gt 8x+1. }[/math] Приведём подобные члены: [math]\displaystyle{ -3x\gt 12, }[/math] или [math]\displaystyle{ x\lt -4. }[/math]

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы [math]\displaystyle{ \begin{cases} 4x-3\gt 5x-5 \\ 2x+4\lt 8x\end{cases} }[/math] получаем два решения: для первого неравенства [math]\displaystyle{ x\lt 2, }[/math] для второго: [math]\displaystyle{ x\gt {2\over 3}. }[/math] Соединяя их, получаем ответ: [math]\displaystyle{ {2\over 3}\lt x\lt 2. }[/math]

Пример 2. [math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x-3\gt 3x-5 \\ 2x+4\gt 8x\end{cases} }[/math] Решения: [math]\displaystyle{ x\lt 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ x\lt {2\over 3}. }[/math] Второе решение поглощает первое, так что ответ: [math]\displaystyle{ x\lt {2\over 3}. }[/math]

Пример 3. [math]\displaystyle{ \begin{cases} 2x-3\lt 3x-5 \\ 2x+4\gt 8x\end{cases} }[/math] Решения: [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ x\lt {2\over 3}, }[/math] они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

[math]\displaystyle{ x^2+px+q\gt 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ x^2+px+q\lt 0. }[/math]

Если квадратное уравнение [math]\displaystyle{ x^2+px+q=0 }[/math] имеет вещественные корни [math]\displaystyle{ x_1, x_2, }[/math] то неравенство можно привести к виду соответственно:

[math]\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)\gt 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)\lt 0. }[/math]

В первом случае [math]\displaystyle{ x-x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x-x_2 }[/math] должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило^[4].

Квадратный трёхчлен [math]\displaystyle{ x^2+px+q }[/math] с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения [math]\displaystyle{ x^2+px+q=0 }[/math] вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех [math]\displaystyle{ x. }[/math] Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры^[5]).

Пример 1. [math]\displaystyle{ -2x^2+14x-20\gt 0. }[/math] Разделив на [math]\displaystyle{ -2, }[/math] приведём неравенство к виду: [math]\displaystyle{ x^2-7x+10\lt 0. }[/math] Решив квадратное уравнение [math]\displaystyle{ x^2-7x+10=0, }[/math] получаем корни [math]\displaystyle{ x_1=2; x_2=5, }[/math] поэтому исходное неравенство равносильно такому: [math]\displaystyle{ (x-2)(x-5)\lt 0. }[/math] Согласно приведенному выше правилу, [math]\displaystyle{ 2\lt x\lt 5, }[/math] что и является ответом.

Пример 2. [math]\displaystyle{ -2x^2+14x-20\lt 0. }[/math] Аналогично получаем, что [math]\displaystyle{ x-2 }[/math] и [math]\displaystyle{ x-5 }[/math] имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, [math]\displaystyle{ x\lt 2, }[/math] или [math]\displaystyle{ x\gt 5. }[/math]

Пример 3. [math]\displaystyle{ x^2+6x+15\gt 0. }[/math] Уравнение [math]\displaystyle{ x^2+6x+15=0 }[/math] не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех [math]\displaystyle{ x. }[/math] При [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех [math]\displaystyle{ x }[/math]).

Пример 4. [math]\displaystyle{ x^2+6x+15\lt 0. }[/math] Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах^[6].

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы^[7].

[math]\displaystyle{ a+{1\over a} \geqslant 2, }[/math] где [math]\displaystyle{ a\gt 0. }[/math] Равенство имеет место только при [math]\displaystyle{ a=1. }[/math]
[math]\displaystyle{ \sqrt{ab}\leqslant {a+b\over 2}, }[/math] где [math]\displaystyle{ a,b\gt 0. }[/math] Смысл: среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднее арифметическое. Равенство имеет место только при [math]\displaystyle{ a=b. }[/math]
Неравенство о средних
Неравенство Бернулли:

[math]\displaystyle{ (1+x)^n\geqslant 1 + nx, }[/math] где [math]\displaystyle{ x\geqslant -1, n }[/math] — положительное число, большее 1.

[math]\displaystyle{ |a+b|\leqslant |a|+|b| }[/math]

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

символ	языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal, 1С
~=	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств

символ	изображение	Юникод		русское название	HTML			LaTeX
символ	изображение	код	название	русское название	шестнадцатеричное	десятичное	мнемоника	LaTeX
<	[math]\displaystyle{ \lt }[/math]	U+003C	Less-than sign	Меньше	<	<	<	<, \textless
>	[math]\displaystyle{ \gt }[/math]	U+003E	Greater-than sign	Больше	>	>	>	>, \textgreater
⩽	[math]\displaystyle{ \leqslant }[/math]	U+2A7D	Less-than or slanted equal to	Меньше или равно	⩽	⩽	нет	\leqslant
⩾	[math]\displaystyle{ \geqslant }[/math]	U+2A7E	Greater-than or slanted equal to	Больше или равно	⩾	⩾	нет	\geqslant
≤	[math]\displaystyle{ \le }[/math]	U+2264	Less-than or equal to	Меньше или равно	≤	≤	≤	\le, \leq
≥	[math]\displaystyle{ \ge }[/math]	U+2265	Greater-than or equal to	Больше или равно	≥	≥	≥	\ge, \geq
≪	[math]\displaystyle{ \ll }[/math]	U+226A	Much less-than	Много меньше	≪	≪	нет	\ll
≫	[math]\displaystyle{ \gg }[/math]	U+226B	Much greater-than	Много больше	≫	≫	нет	\gg

См. также

Сравнение (программирование)

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

Литература

Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.

[ME-1] 1,0 ^1,1 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.

[_88eba2517a55a716-2] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.

[_88eba2517a55a719-3] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.

[_654a81d94436ba17-4] Элементарная математика, 1976, с. 217—222.

[_8b6c66b23962a266-5] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.

[_ac70a70cce22e51e-6] Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.

[_6a59c3bb4e1f95d5-7] Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]