Матрицы Паули

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

[math]\displaystyle{ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}. }[/math]

Вместо [math]\displaystyle{ \sigma_1, \sigma_2,\sigma_3 }[/math] иногда используют обозначение [math]\displaystyle{ \sigma_x, \sigma_y,\sigma_z }[/math] и [math]\displaystyle{ X, Y, Z }[/math].

Часто также употребляют матрицу

[math]\displaystyle{ \sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, }[/math]

совпадающую с единичной матрицей [math]\displaystyle{ I }[/math], которую также иногда обозначают как [math]\displaystyle{ E }[/math].

Матрицы Паули вместе с матрицей [math]\displaystyle{ \sigma_0 }[/math] образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Свойства

Основные соотношения

• Эрмитовость: [math]\displaystyle{ \sigma_i^\dagger = \sigma_i; }[/math]
• Равенство нулю следа: [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0, \quad \ i = 1, 2, 3 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2= I, }[/math] где [math]\displaystyle{ I= \sigma_0 }[/math] — единичная матрица размерности 2×2.
• Унитарность: [math]\displaystyle{ \sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i }[/math]
• Определитель матриц Паули равен −1.
• Алгебра, порождённая элементами [math]\displaystyle{ \sigma_0, -i\sigma_x, -i\sigma_y, -i\sigma_z }[/math], изоморфна алгебре кватернионов [math]\displaystyle{ \lang 1,i,j,k\rang }[/math].

Правила умножения матриц Паули

[math]\displaystyle{ \sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i }[/math] для [math]\displaystyle{ i\ne j. }[/math]

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

[math]\displaystyle{ \sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \cdot \sigma_0,\quad i,j,k = 1, 2, 3 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] — символ Кронекера, а ε_ijk — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

[math]\displaystyle{ \begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot \sigma_0. \end{matrix} }[/math]

Квадратные скобки означают коммутатор ([math][a,b]=ab-ba[/math]), фигурные — антикоммутатор ([math]\{a,b\}=ab+ba[/math]).

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Связь с алгебрами Ли

Коммутационные соотношения матриц [math]\displaystyle{ i\sigma_k }[/math] совпадают с коммутационными соотношениями генераторов алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта алгебра, состоящая из антиэрмитовых матриц 2×2, может быть построена из произвольных линейных комбинаций матриц [math]\displaystyle{ i\sigma_k\;. }[/math] Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

В квантовой механике матрицы [math]\displaystyle{ i\sigma_j/2 }[/math] представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½.

Матрицы проекций спина ½ — половины матриц Паули:

[math]\hat s_x=\tfrac12\sigma_x,\quad\hat s_y=\tfrac12\sigma_y,\quad\hat s_z=\tfrac12\sigma_z.[/math]

Это соответствует тому, что ненулевые элементы матрицы спинового оператора для частиц с произвольным спином [math]s[/math] выражаются как

[math]\displaystyle{ (s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ (s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)} }[/math]

[math]\displaystyle{ (s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma }[/math]

Здесь [math]\sigma=-s,\dots,s-1,s[/math] пробегает значения от [math]-s[/math] до [math]+s[/math] с шагом 1 — собственные числа матриц [math]\hat s_x,\hat s_y,\hat s_z[/math] (не путать [math]\sigma[/math] с матрицами Паули!). При [math]s=\frac12[/math] эти формулы дают матрицы Паули, делённые на 2.

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

См. также

• Тождества Фирца

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.