Подобие

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и их образов [math]\displaystyle{ A' }[/math], [math]\displaystyle{ B' }[/math] имеет место соотношение [math]\displaystyle{ |A'B'|=k\cdot |AB| }[/math], при некотором фиксированном [math]\displaystyle{ k \neq 0 }[/math], называемым коэффициентом подобия.

Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).

История

Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.

Частные случаи

• Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
• Движением называется преобразование подобия с коэффициентом [math]\displaystyle{ k=1 }[/math], то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.

Связанные определения

• Фигура [math]\displaystyle{ F }[/math] называется подобной фигуре [math]\displaystyle{ F ' }[/math], если существует преобразование подобия, при котором [math]\displaystyle{ F\mapsto F' }[/math].
  • Подобие фигур является отношением эквивалентности.
  • Для обозначения подобия обычно используется значок [math]\displaystyle{ \sim }[/math] — [math]\displaystyle{ F\sim F' }[/math] означает, что фигуры [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ F ' }[/math] подобны.

Метод подобия

Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.

Свойства

• Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
• Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
• Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка [math]\displaystyle{ B }[/math] лежит между точками [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ B' }[/math], [math]\displaystyle{ A' }[/math], [math]\displaystyle{ C' }[/math] — соответствующие их образы при некотором подобии, то [math]\displaystyle{ B' }[/math] также лежит между точками [math]\displaystyle{ A' }[/math] и [math]\displaystyle{ C' }[/math].
• Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
• Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
• Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
• Подобие с коэффициентом [math]\displaystyle{ k\not=1 }[/math], преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом [math]\displaystyle{ k }[/math] или [math]\displaystyle{ -k }[/math].
  • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения [math]\displaystyle{ D }[/math] и некоторой гомотетии [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] с положительным коэффициентом.
  • Подобие называется собственным (несобственным), если движение [math]\displaystyle{ D }[/math] является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
• Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
  • их соответственные углы равны, или
  • стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
• Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

Обобщения

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет [math]\displaystyle{ r }[/math]-членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов [math]\displaystyle{ r }[/math]-членная группа подобных преобразований Ли содержит [math]\displaystyle{ (r-1) }[/math]-членную нормальную подгруппу движений.

См. также

• Признаки подобия треугольников
• Конгруэнтность (геометрия)
• Конформное отображение
• Симметрия
• Самоподобие

Ссылки

• Равенство и подобие геометрических фигур.
• Граве Д. А. Гомотетические фигуры // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Подобие // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — С. 373. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.