Перпендикулярность

Перпендикуля́рность (от лат. perpendicularis — букв. отвесный) — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых [math]\displaystyle{ m }[/math] и [math]\displaystyle{ n }[/math] записывают как [math]\displaystyle{ m\perp n }[/math].

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют 4 прямых угла.

Про прямую [math]\displaystyle{ m }[/math] перпендикулярную к прямой [math]\displaystyle{ \ell }[/math] проведённую через точку [math]\displaystyle{ P }[/math] вне прямой [math]\displaystyle{ \ell }[/math], говорят, что [math]\displaystyle{ m }[/math] есть перпендикуляр опущенный из [math]\displaystyle{ P }[/math] на [math]\displaystyle{ \ell }[/math]. Если же точка [math]\displaystyle{ P }[/math] лежит на прямой [math]\displaystyle{ \ell }[/math], то говорят, что [math]\displaystyle{ m }[/math] есть перпендикуляр к восстановленный из [math]\displaystyle{ P }[/math] к [math]\displaystyle{ \ell }[/math] (устаревший термин восставленный).

В координатах

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

[math]\displaystyle{ y=a\cdot x+b }[/math]

и

[math]\displaystyle{ y=k\cdot x+ m }[/math]

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

[math]\displaystyle{ a\cdot k=-1. }[/math]

Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

Пусть прямая задаётся точками [math]\displaystyle{ A(x_a,y_a) }[/math] и [math]\displaystyle{ B(x_b,y_b) }[/math]. На прямую опускается перпендикуляр из точки [math]\displaystyle{ P(x_p,y_p) }[/math]. Тогда основание перпендикуляра [math]\displaystyle{ O(x_o,y_o) }[/math] можно найти следующим образом.

Если [math]\displaystyle{ x_a = x_b }[/math] (вертикаль), то [math]\displaystyle{ x_o = x_a }[/math] и [math]\displaystyle{ y_o = y_p }[/math]. Если [math]\displaystyle{ y_a = y_b }[/math] (горизонталь), то [math]\displaystyle{ x_o = x_p }[/math] и [math]\displaystyle{ y_o = y_a }[/math].

Во всех остальных случаях:

[math]\displaystyle{ x_o = \frac{x_a\cdot(y_b-y_a)^2 +x_p\cdot(x_b-x_a)^2 + (x_b-x_a)\cdot(y_b-y_a)\cdot(y_p-y_a)}{(y_b-y_a)^2+(x_b-x_a)^2} }[/math];

[math]\displaystyle{ y_o = \frac{(x_b-x_a)\cdot(x_p-x_o)}{(y_b-y_a)}+y_p }[/math].

В трёхмерном пространстве

Перпендикулярные прямые

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

• Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.
• Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.
• Плоскость, перпендикулярная двум пересекающимся плоскостям, перпендикулярна их линии пересечения.

В многомерных пространствах

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно [math]\displaystyle{ \tbinom{4}{2}=6 }[/math]: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости

Пусть задано n-мерное евклидово пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math](n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство [math]\displaystyle{ W^n }[/math], а прямая l с направляющим векторным пространством [math]\displaystyle{ L^1 }[/math] и гиперплоскость [math]\displaystyle{ \Pi_{k} }[/math] с направляющим векторным пространством [math]\displaystyle{ L^{k} }[/math] (где [math]\displaystyle{ L_1 \subset W^n }[/math], [math]\displaystyle{ L^k \subset W^n,\ k \lt n }[/math]) принадлежат пространству [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math].

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости [math]\displaystyle{ \Pi_{k} }[/math], если подпространство [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] ортогонально подпространству [math]\displaystyle{ L^{k} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ (\forall \vec a \in L_1)\ (\forall \vec b \in L_k)\ \vec a \vec b=0 }[/math]

Вариации и обобщения

• В теории инверсии вводятся: окружность или прямая, перпендикулярные к окружности [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math].
• В теории окружностей и инверсии две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными (перпендикулярными). Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
• В теории инверсии прямая перпендикулярна к окружности [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math], если она проходит через центр последней.

См. также

• Нормаль
• Параллельность
• Ортогональность
• Высота
• Теорема о трёх перпендикулярах