Процедура Кэли — Диксона

Процедура Кэ́ли — Ди́ксона (процедура удвоения) — это итеративная процедура построения алгебр над полем (или над кольцом) с удвоением размерности на каждом шаге. Названа в честь Артура Кэли и Леонарда Диксона.

Эта процедура позволяет построить из действительных чисел последовательно их расширения: комплексные числа, кватернионы, октонионы, седенионы и т. д. Также используется в теореме Гурвица для нахождения всех нормированных алгебр с делением. Так, согласно данной теореме, действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы являются единственными нормированными алгебрами с делением (над полем действительных чисел).

Свойства алгебр Кэли — Диксона

Алгебра	Размер- ность (n)	Упорядо- ченность	Свойства умножения				Отсутствие нетрив. делителей нуля
			Коммута- тивность	Ассоциа- тивность	Альтерна- тивность	Степенная ассоциа- тивность
Действитель- ные числа ([math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math])	1	Да	Да	Да	Да	Да	Да
Комплексные числа ([math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math])	2	Нет	Да	Да	Да	Да	Да
Кватернионы ([math]\displaystyle{ \mathbb{H} }[/math])	4	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да
Октонионы ([math]\displaystyle{ \mathbb{O} }[/math])	8	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да
Седенионы ([math]\displaystyle{ \mathbb{S} }[/math])	16	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет
	> 16

Количество симметрий поля уменьшается при каждом применении процедуры Кэли — Диксона: сначала исчезает упорядоченность, затем коммутативность умножения, потом ассоциативность умножения и в итоге — альтернативность умножения (см. таблицу). Но при этом все алгебры сохраняют степенную ассоциативность умножения, а также по определению являются унитальными и их умножение дистрибутивно относительно сложения.

В более общем смысле процедура Кэли — Диксона переводит любую алгебру с инволюцией в другую алгебру с инволюцией в два раза большей размерности.

Общий случай

Если для некоторых чисел [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] существуют понятия: умножения, сопряжённого числа и нормы числа как [math]\displaystyle{ \ |a|^2 = a \bar{a} }[/math] (см. композиционная алгебра), то эти понятия можно ввести и для упорядоченных пар чисел [math]\displaystyle{ (a, b) }[/math]:

• [math]\displaystyle{ (a, b)(c, d) = (a c - \bar{d} b, d a + b \bar{c}) }[/math] — закон умножения пар,

• [math]\displaystyle{ \overline{(a, b)} = (\bar{a}, -b) }[/math] — сопряжённая пара.

Свойства

• (расширенная) норма упорядоченной пары:

[math]\displaystyle{ |(a, b)|^2 = (a, b) \overline{(a, b)} = (a, b) (\bar{a}, -b) = (a \bar{a} + b \bar{b}, b a - b a) = (|a|^2 + |b|^2, 0 ) = |a|^2 + |b|^2 }[/math] — равна нулю только при a = b = 0.

• Если исходная алгебра была ассоциативной алгеброй с делением, то (расширенное) деление [math]\displaystyle{ \ r / q }[/math] определяется как [math]\displaystyle{ \frac{r \bar{q}}{|q|^2} }[/math] или [math]\displaystyle{ \frac{\bar{q}r }{|q|^2} }[/math] — значит, из предыдущего свойства вытекает отсутствие делителей нуля.

• Если для чисел выполняется [math]\displaystyle{ \ \overline{ab} = \bar{b} \cdot \bar{a}, }[/math] это выполняется и для упорядоченных пар:

[math]\displaystyle{ \overline{(a, b)(c, d)} = (\bar{c} \bar{a} - \bar{b} d, -d a - b \bar{c}) = (\bar{c}, -d) (\bar{a}, -b) = \overline{(c, d)} \cdot \overline{(a, b)}. }[/math]

• Если исходная алгебра ассоциативна, то расширенная алгебра нормирована, поскольку:

[math]\displaystyle{ |rq|^2=(rq)\overline{(rq)} = (r q)(\bar{q} \bar{r}) = r (q \bar{q}) \bar{r}=|r|^2 \cdot |q|^2. }[/math]

В общем случае результат оказывается неассоциативной алгеброй.

Наследуемые

Если исходная алгебра имеет единицу, то (1, 0) — единица в расширенной алгебре.

Если в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* ассоциирует и коммутирует со всеми элементами, то такова же и расширенная алгебра. В частности, любой элемент порождает коммутативную *-алгебру, откуда следует свойство ассоциативности степеней.

Ослабляемые

1. Если исходная алгебра коммутативна и сопряжение тождественно, то расширенная алгебра коммутативна.
2. Если исходная алгебра коммутативна и ассоциативна, то расширенная алгебра ассоциативна.
3. Если исходная алгебра ассоциативна, и в исходной алгебре всякий элемент вида x + x* или x x* коммутирует со всеми элементами, то расширенная алгебра альтернативна.

Можно проследить на примере чисел, как из поля R с тождественным сопряжением получается поле C (*-алгебра с нетривиальным сопряжением), откуда получается некоммутативная *-алгебра (тело) H, откуда получается неассоциативная алгебра O, но альтернативная и нормированная, так что без делителей нуля. Дальнейшие алгебры будут иметь делители нуля, т. к. умножение перестанет быть совместимо с нормой.

Приложения

Комплексные числа

Процедура Кэли — Диксона соответствует определению комплексных чисел как упорядоченных пар вещественных чисел.

Кватернионы

Произвольный кватернион [math]\displaystyle{ \ q = a + bi + cj + dk }[/math]  можно представить в виде [math]\displaystyle{ \ q = (a + bi) + (c + di)j }[/math] или, эквивалентно, [math]\displaystyle{ \ q = z_1 + z_2 \cdot j, \quad z_1 = a + b\cdot i, \quad z_2 = c + d\cdot i, }[/math] где [math]\displaystyle{ \ z_1, z_2 }[/math] — комплексные числа, поскольку [math]\displaystyle{ \ i^2 = -1 }[/math] выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а [math]\displaystyle{ k = i\cdot j }[/math].

Возьмём ещё один кватернион [math]\displaystyle{ \ r=w_1+w_2 j. }[/math] Перемножив и раскрыв скобки (т. к. умножение кватернионов ассоциативно), получим:

[math]\displaystyle{ \ qr = (z_1 + z_2 j)(w_1 + w_2 j) = z_1 w_1 + z_1 w_2 j + z_2 j w_1 + z_2 j w_2 j. }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ \ zj=j \bar{z}, \; zw=wz, }[/math] то, переставляя множители, получим: [math]\displaystyle{ \ qr = (z_1 w_1 - \bar{w_2} z_2) + (w_2 z_1 + z_2 \bar{w_1}) j. }[/math]

Следовательно, кватернионы можно определять как выражения вида [math]\displaystyle{ \ z_1 + z_2 \cdot j }[/math], удовлетворяющие вышеприведённой формуле умножения. Эта формула интересна тем, что она расширяет формулу умножения чисто комплексных чисел (т. е. кватернионов с [math]\displaystyle{ z_2=w_2=0 }[/math]).

Обобщения

Предыдущие формулы строят гиперкомплексные системы, когда «мнимая единица расширения» имеет квадрат, равный «−1». Но при создании пар квадрат новой «мнимой единицы» можно взять как «+1» или даже «0», а также изменить (расширенный) закон умножения пар (см. алгебра Клиффорда). Правда, тогда норму и сопряжения (разного вида) нужно строить более сложно, также могут возникать и нетривиальные делители нуля.

Ссылки

• Dickson, L. E. (1919), On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem, Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 
• HyperJeff Sketching the History of Hypercomplex Numbers 1996–2006
• И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. — Москва, "Наука". — 1973.
• Е.А. Каратаев «Гиперкомплексные числа. Классификатор»