Неприводимый многочлен

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров).

Определение

Многочлен [math]\displaystyle{ p(x_1,x_2,..,x_n) }[/math] от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных над полем [math]\displaystyle{ k }[/math] называется неприводимым над полем [math]\displaystyle{ k }[/math], если он является простым элементом кольца [math]\displaystyle{ k[x_1,x_2,..,x_n] }[/math], то есть не является константой и не представим в виде произведения [math]\displaystyle{ p=qr }[/math], где [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] ― многочлены с коэффициентами из [math]\displaystyle{ k }[/math], отличные от констант.

Аналогично определяется многочлен, неприводимый над целостным кольцом.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

[math]\displaystyle{ p(x_1,x_2,..,x_{n-1})+x_n }[/math]

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряжёнными.

Свойства

• Кольцо многочленов [math]\displaystyle{ k[x_1,x_2..,x_n] }[/math] факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Действительно, любой вещественный многочлен, не имеющий действительных корней (что возможно только для чётных степеней) имеет хотя бы один чисто комплексный корень [math]\displaystyle{ z }[/math], а тогда корнем данного многочлена является и сопряжённый к этому корню элемент [math]\displaystyle{ \overline{z} \neq z }[/math]; следовательно, этот многочлен делится на вещественный многочлен [math]\displaystyle{ (x-z)(x-\overline{z}) }[/math], что для многочлена степени 3 или выше означает приводимость.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен [math]\displaystyle{ x^n+px+p }[/math], где [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ p }[/math] ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
• Если [math]\displaystyle{ k = F_q }[/math] — конечное поле из [math]\displaystyle{ q }[/math] элементов, а [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из [math]\displaystyle{ k[x] }[/math].
• Предположим, что [math]\displaystyle{ A }[/math] ― целозамкнутое кольцо с полем частных [math]\displaystyle{ k }[/math] (например [math]\displaystyle{ A=\Z }[/math] и [math]\displaystyle{ k=\mathbb Q }[/math]) и [math]\displaystyle{ p\in A[x] }[/math] ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда [math]\displaystyle{ p=qr }[/math] в [math]\displaystyle{ k[x] }[/math], причём [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ r }[/math] имеют старший коэффициент 1, то [math]\displaystyle{ q,r\in A[x] }[/math].
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности [math]\displaystyle{ \sigma:A\to B }[/math]. Если степень многочлена [math]\displaystyle{ \sigma(p) }[/math] совпадает со степенью многочлена [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma(p) }[/math] неприводим над полем частных области [math]\displaystyle{ B }[/math], то не существует разложения [math]\displaystyle{ p=qr }[/math], где [math]\displaystyle{ p, r\in A[x] }[/math] и отличны от константы.
  • Например, многочлен [math]\displaystyle{ p }[/math] со старшим коэффициентом [math]\displaystyle{ 1 }[/math] прост в [math]\displaystyle{ \Z[x] }[/math] (и, следовательно, неприводим в [math]\displaystyle{ \mathbb Q[x] }[/math]), если прост многочлен [math]\displaystyle{ \sigma(p) }[/math], полученный из [math]\displaystyle{ p }[/math] редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

[math]\displaystyle{ p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)^2} }[/math],

[math]\displaystyle{ p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)} }[/math],

[math]\displaystyle{ p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3) }[/math],

[math]\displaystyle{ p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) }[/math],

[math]\displaystyle{ p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)} }[/math], где [math]\displaystyle{ i^2 }[/math] [math]\displaystyle{ ={-1} }[/math].

Над кольцом [math]\displaystyle{ \Z }[/math] целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем [math]\displaystyle{ \Q }[/math] рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми.

Над полем [math]\displaystyle{ \R }[/math] действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но [math]\displaystyle{ p_5(x) }[/math] является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена [math]\displaystyle{ x^4 + 1 }[/math] в поле действительных чисел имеет вид [math]\displaystyle{ (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1) }[/math]. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] над [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] может быть разложен на множители вида:

[math]\displaystyle{ p(x) = a(x-z_1)\cdots (x-z_n) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \ n }[/math] — степень многочлена, [math]\displaystyle{ \ a }[/math] — старший коэффициент, [math]\displaystyle{ \ z_1,\ldots,z_n }[/math] — корни [math]\displaystyle{ \ p(x) }[/math]. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поля

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем [math]\displaystyle{ \Q }[/math], могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] является неприводимым над [math]\displaystyle{ \Q }[/math], но над полем [math]\displaystyle{ \mathbb F_2 }[/math] из двух элементов мы имеем:

[math]\displaystyle{ (x^2+1)=(x+1)^2. }[/math]

Литература

• Ван-дер-Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1976. — 648 с.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.