Перейти к содержанию

Формула Муавра

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Формула Муавра для комплексных чисел [math]\displaystyle{ z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi) }[/math] утверждает, что

[math]\displaystyle{ z^n = r^n(\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = r^n(\cos n\varphi + i \sin n\varphi) }[/math][1]

для любого [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math].

Исторически формула Муавра была доказана ранее формулы Эйлера:

[math]\displaystyle{ e^{ix} = \cos x + i\sin x, }[/math]

однако немедленно следует из неё.

Применение

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

[math]\displaystyle{ z^{1/n} = \big[r\big(\cos(\varphi + 2\pi k) + i \sin(\varphi + 2\pi k)\big)\big]^{1/n} = r^{1/n} \left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ k = 0,1,\dots,n-1 }[/math].

Из этой формулы следует, что корни [math]\displaystyle{ n }[/math]-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно [math]\displaystyle{ n }[/math]. На комплексной плоскости, как видно из той же формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r} }[/math] с центром в нуле.

При [math]\displaystyle{ r = 1 }[/math] из формулы Муавра можно вывести значения тригонометрических функций для кратных аргументов (например, синус и косинус двойного, тройного и т. д. углов).

История

Открыта английским математиком Абрахамом де Муавром.

См. также

Примечания