Перейти к содержанию

Противоположное число

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Противоположное число [math]\displaystyle{ n' }[/math] по отношению к числу [math]\displaystyle{ n }[/math] — это число, которое при сложении с [math]\displaystyle{ n }[/math] даёт ноль. А данное явление называется взаимным уничтожением слагаемых.

[math]\displaystyle{ n+n'=0 }[/math]

Для любого действительного (или комплексного) числа существует число, противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.

Противоположное к действительному

Из определения противоположного числа следует

[math]\displaystyle{ n' = -n }[/math]

Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки. В соответствии с этим, противоположное числу [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначают [math]\displaystyle{ -n }[/math].

Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот. Существует лишь одно число, противоположное к которому совпадает с ним самим. Это число нуль.

Не стоит путать термины «противоположное число» и «обратное число». Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равняется единице. Например, число, обратное к 7, это 1/7, а противоположное −7.

Противоположное к комплексному

Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа Число [math]\displaystyle{ (z) }[/math] Противоположное [math]\displaystyle{ (-z) }[/math][1]
Алгебраическая [math]\displaystyle{ x+iy }[/math] [math]\displaystyle{ -x-iy }[/math]
Тригонометрическая [math]\displaystyle{ r(\cos\varphi+i \sin\varphi) }[/math] [math]\displaystyle{ -r(\cos\varphi+i \sin\varphi) }[/math]
Показательная [math]\displaystyle{ re^{i \varphi} }[/math] [math]\displaystyle{ -re^{i \varphi} }[/math]


Противоположное к мнимой единице

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), противоположное и обратное числа к которым равны. Это [math]\displaystyle{ \pm i }[/math].

Число Равенство противоположного и обратного
Запись обратного через дробь Запись обратного через степень
[math]\displaystyle{ i }[/math] [math]\displaystyle{ -i = \frac{1}{i} }[/math] [math]\displaystyle{ -i = i^{-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ -i }[/math] [math]\displaystyle{ i = - \frac{1}{i} }[/math] [math]\displaystyle{ i = -i^{-1} }[/math]

Примечания

  1. Противоположное [math]\displaystyle{ (-z) }[/math] к комплексному числу [math]\displaystyle{ (z) }[/math] записывается в такой же форме, как и это число [math]\displaystyle{ (z) }[/math].

См. также

Обратное число