Расширение поля

Расшире́ние по́ля (реже употребляется термин надполе) [math]\displaystyle{ K }[/math] — поле [math]\displaystyle{ E }[/math], содержащее данное поле [math]\displaystyle{ K }[/math] в качестве подполя. Исследование расширений является важной задачей теории полей, так как любой гомоморфизм полей является расширением.

Базовые определения

Если [math]\displaystyle{ E }[/math] — поле, его подполе — это его подмножество [math]\displaystyle{ K }[/math], замкнутое относительно сложения и умножения, взятия обратного и противоположного элементов и содержащее единицу, на котором введены те же операции, что и в поле [math]\displaystyle{ E }[/math]. В этом случае [math]\displaystyle{ E }[/math] называется расширением поля [math]\displaystyle{ K }[/math], заданное расширение обычно обозначают [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] (также используются обозначения [math]\displaystyle{ E/K }[/math] и [math]\displaystyle{ K\subset E }[/math]). Любой гомоморфизм полей инъективен, то есть является вложением. Из этого следует, что задание конкретного расширения [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] эквивалентно заданию гомоморфизма [math]\displaystyle{ f:K\to E }[/math].

Если задано расширение [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] и подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] поля [math]\displaystyle{ E }[/math], то наименьшее подполе [math]\displaystyle{ E }[/math], содержащее [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ S }[/math], обозначается [math]\displaystyle{ K(S) }[/math] и называется полем, порождённым множеством [math]\displaystyle{ S }[/math] над полем [math]\displaystyle{ K }[/math]. Расширения, порождённые одним элементом, называются простыми расширениями, а расширения, порождённые конечным множеством — конечно порождёнными расширениями. Элемент, порождающий простое расширение, называется примитивным элементом.

Для любого расширения [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] [math]\displaystyle{ E }[/math] является векторным пространством над полем [math]\displaystyle{ K }[/math]. В этой ситуации элементы [math]\displaystyle{ E }[/math] можно понимать как «векторы», а элементы [math]\displaystyle{ K }[/math] — как «скаляры», умножение вектора на скаляр задаётся операцией умножения в поле [math]\displaystyle{ E }[/math]. Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [math]\displaystyle{ [E:K] }[/math]. Расширение степени 1 называется тривиальным, расширения степени 2 и 3 — квадратичными и кубическими соответственно. Расширение конечной степени называют конечным, в противном случае — бесконечным.

Примеры

Поле комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] является расширением поля действительных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]. Это расширение конечно: [math]\displaystyle{ [\mathbb C:\mathbb R]=2 }[/math], так как [math]\displaystyle{ (1,i) }[/math] является базисом. В свою очередь, поле действительных чисел является расширением поля рациональных чисел; степень этого расширения равна мощности континуума, поэтому это расширение бесконечно.

Множество [math]\displaystyle{ \{a+b\sqrt 2\mid a,b\in\mathbb Q\} }[/math] является расширением поля [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math], которое, очевидно, является простым. Конечные расширения [math]\displaystyle{ \mathbb Q }[/math] называются алгебраическими числовыми полями и являются важным объектом изучения алгебраической теории чисел.

Обычная процедура построения расширения данного поля, позволяющая добавить в него корень многочлена [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — это взятие факторкольца кольца многочленов по главному идеалу, порожденному [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Например, пусть поле [math]\displaystyle{ K }[/math] не содержит корня уравнения [math]\displaystyle{ x^2=-1 }[/math]. Следовательно, многочлен [math]\displaystyle{ x^2+1 }[/math] является неприводимым в [math]\displaystyle{ K }[/math], следовательно, идеал [math]\displaystyle{ (x^2+1) }[/math] — максимальный, а значит факторкольцо [math]\displaystyle{ K[x]/(x^2+1) }[/math] является полем. Это поле содержит корень уравнения [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math] — образ многочлена [math]\displaystyle{ x }[/math] при отображении факторизации. Повторив подобную процедуру несколько раз, можно получить поле разложения данного многочлена, то есть поле, в котором данный многочлен раскладывается на линейные множители.

Алгебраичность и трансцендентность

Пусть [math]\displaystyle{ E }[/math] — расширение поля [math]\displaystyle{ K }[/math]. Элемент [math]\displaystyle{ E }[/math] называется алгебраическим над [math]\displaystyle{ K }[/math], если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами в [math]\displaystyle{ K }[/math]. Элементы, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными. Например, для расширения [math]\displaystyle{ \mathbb C\supset\mathbb R }[/math] мнимая единица является алгебраическим числом, так как удовлетворяет уравнению [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math].

Особенно важен частный случай расширений [math]\displaystyle{ \mathbb C\supset\mathbb Q }[/math]: термины алгебраическое число и трансцендентное число (без указания основного поля) употребляют именно для случая данного расширения.

Если каждый элемент расширения [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] является алгебраическим над [math]\displaystyle{ K }[/math], [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] называется алгебраическим расширением. Неалгебраические расширения называются трансцендентными.

Подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] поля [math]\displaystyle{ E }[/math] называется алгебраически независимым над [math]\displaystyle{ K }[/math], если не существует ненулевого многочлена (от конечного числа переменных) с коэффициентами в [math]\displaystyle{ K }[/math], такого, что при подстановке в него конечного подмножества чисел из [math]\displaystyle{ S }[/math] получится ноль. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности данного расширения. Для любого расширения можно найти алгебраически независимое множество [math]\displaystyle{ S }[/math], такое что [math]\displaystyle{ E\supset K(S) }[/math] является алгебраическим расширением. Множество [math]\displaystyle{ S }[/math], удовлетворяющее этому условию, называется базисом трансцендентности данного расширения. Все базисы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени транцендентности расширения.

Простое расширение является конечным, если порождается алгебраическим элементом. В противном случае единственные элементы [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math], являющиеся алгебраическими над [math]\displaystyle{ K }[/math] — это сами элементы [math]\displaystyle{ K }[/math].

Расширения Галуа

Алгебраическое расширение [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] называется нормальным, если каждый неприводимый многочлен [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math], имеющий хотя бы один корень в [math]\displaystyle{ E }[/math], разлагается в [math]\displaystyle{ E }[/math] на линейные множители.

Алгебраическое расширение [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] называется сепарабельным, если каждый элемент [math]\displaystyle{ E }[/math] является сепарабельным, то есть его минимальный многочлен не имеет кратных корней. В частности, теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (то есть является простым расширением). Расширение Галуа — это расширение, являющееся одновременно сепарабельным и нормальным.

Для любого расширения [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] можно рассмотреть группу автоморфизмов поля [math]\displaystyle{ E }[/math], действующих тождественно на поле [math]\displaystyle{ K }[/math]. Когда расширение является расширением Галуа, эта группа называется группой Галуа данного расширения.

Для расширения [math]\displaystyle{ E\supset K }[/math] часто бывает полезно описать промежуточные поля (то есть подполя [math]\displaystyle{ E }[/math], содержащие [math]\displaystyle{ K }[/math]). Основная теорема теории Галуа утверждает, что существует биекция между множеством промежуточных полей и множеством подгрупп группы Галуа, обращающая порядок по включению.

Литература

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — т. 1. — М.: ИЛ, 1963.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.