Степень трансцендентности

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ L/K }[/math] — расширение поля [math]\displaystyle{ K }[/math] до поля [math]\displaystyle{ L. }[/math] Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля [math]\displaystyle{ L }[/math] над полем [math]\displaystyle{ K. }[/math] Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств.

Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{trdeg}_K L }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathrm{trdeg}(L/K). }[/math]

Замечания

Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле [math]\displaystyle{ L }[/math] нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в [math]\displaystyle{ L }[/math] существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.

Связанные понятия

Подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] из [math]\displaystyle{ L }[/math] называется базисом трансцендентности расширения [math]\displaystyle{ L/K, }[/math] если:

• элементы [math]\displaystyle{ S }[/math] алгебраически независимы над [math]\displaystyle{ K; }[/math]
• базис полон, то есть [math]\displaystyle{ L }[/math] является алгебраическим расширением поля [math]\displaystyle{ K(S), }[/math] полученного присоединением элементов [math]\displaystyle{ S }[/math] к полю [math]\displaystyle{ K. }[/math]

Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.

Расширение поля [math]\displaystyle{ L/K }[/math] называется чисто трансцендентным, если в [math]\displaystyle{ L }[/math] существует подмножество [math]\displaystyle{ S }[/math] алгебраически независимых над [math]\displaystyle{ K }[/math] элементов такое, что [math]\displaystyle{ K(S)=L. }[/math]

Примеры

• Для расширения поля рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] до поля вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] степень трансцендентности есть континуум. Это следует из того, что множество алгебраических чисел счётно.
• Поле рациональных функций [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных [math]\displaystyle{ K(x_1\dots x_n) }[/math] над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] является чисто трансцендентным расширением [math]\displaystyle{ K. }[/math] Его степень трансцендентности равна [math]\displaystyle{ n, }[/math] а в качестве базиса трансцендентности можно взять [math]\displaystyle{ \{x_1,x_2,\dots, x_n\}. }[/math]
• Поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \pi) }[/math] является расширением поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] со степенью трансцендентности 1, потому что [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] является алгебраическим числом, а [math]\displaystyle{ \pi }[/math] — трансцендентным.
• Поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\pi, e) }[/math] также является расширением поля [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}, }[/math] его степень трансцендентности не определена (либо 1, либо 2), поскольку неизвестно, являются ли константы [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и [math]\displaystyle{ e }[/math] алгебраически независимыми.

Свойства

Если мы имеет двукратное расширение поля: [math]\displaystyle{ M \supset L \supset K, }[/math] то степень трансцендентности [math]\displaystyle{ M/K }[/math] равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности [math]\displaystyle{ L/K }[/math] и [math]\displaystyle{ M/L. }[/math] Базис трансцендентности [math]\displaystyle{ M/K }[/math] получается объединением базисов трансцендентности для [math]\displaystyle{ L/K }[/math] и [math]\displaystyle{ M/L. }[/math]

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М: Иностранная литература, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1967.

Ссылки

• Кузьмин Л. В. Трансцендентное расширение