Импульс

Импульс
[math]\displaystyle{ \vec p = m\vec v }[/math]
Размерность	LMT−1
Единицы измерения
СИ	кг·м/с
СГС	г·см/с
Примечания
векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела.

В классической механике импульс тела равен произведению массы [math]\displaystyle{ m }[/math] этого тела на его скорость [math]\displaystyle{ \vec{v}, }[/math] направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

[math]\displaystyle{ \vec{p} = m\vec{v}. }[/math]

В релятивистской физике импульс вычисляется как:

[math]\displaystyle{ \vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света; в пределе для малых [math]\displaystyle{ v }[/math] формула переходит в классическую.

Важнейший физический закон в котором фигурирует импульс тела, — второй закон Ньютона:

[math]\displaystyle{ \frac{\mbox{d}\vec{p}}{\mbox{d}t} = \vec{F}, }[/math]

здесь [math]\displaystyle{ t }[/math] — время, [math]\displaystyle{ \vec{F} }[/math] — сила, приложенная к телу.

В записи через импульс (в отличие от [math]\displaystyle{ \vec{F} = m\vec{a}, }[/math] [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] — ускорение) закон применим не только в классической, но и в релятивистской механике.

В самом общем виде, определение звучит: импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

Понятие «импульс» имеет обобщения в теоретической механике, для случая наличия электромагнитного поля (как для частицы в поле, так и для самого поля), а также в квантовой механике.

История появления термина

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1678 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус". В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Формальное абстрактное определение

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (то есть инвариант относительно трансляций).

Из свойства однородности пространства следует независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства она помещена. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины, которую и называют импульсом.

В разных разделах физики применительно к реальным задачам даются более конкретные определения импульса, с которыми можно работать и производить расчёты.

Определения импульса тела в механике

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

[math]\displaystyle{ \vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i, }[/math]

соответственно, величина [math]\displaystyle{ \vec p_i=m_i \vec{v}_i }[/math] называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Импульс тела конечных размеров находится путём его мысленного разбиения на малые части, которые можно считать материальными точками, с последующим интегрированием по ним:

[math]\displaystyle{ \vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz. }[/math]

Стоящее под интегралом произведение [math]\displaystyle{ \vec{s} = \rho\vec{v} }[/math] называют плотностью импульса.

Релятивистская механика

В релятивистской механике импульсом системы материальных точек называется величина:

[math]\displaystyle{ \vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ m_i }[/math] — масса [math]\displaystyle{ i }[/math]-й материальной точки,

[math]\displaystyle{ \vec v_i }[/math] — её скорость.

Также вводится четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки массой [math]\displaystyle{ m }[/math] определяется как:

[math]\displaystyle{ p_{\mu}=(E/c,\vec p)=\left(\frac{m c}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{m \vec v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right). }[/math]

На практике часто применяются соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

[math]\displaystyle{ E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4, \qquad\qquad \mathbf{p} = \frac{E}{c^2}\, \mathbf{v}. }[/math]

Свойства импульса

• Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему.
• Инвариантность абсолютной величины импульса по отношению к повороту ИСО. При этом в общем случае при смене ИСО инвариантности импульса или его модуля нет ни в релятивистской механике, ни в классическом пределе.
• Причиной изменения импульса со временем является сила (по второму закону Ньютона, [math]\displaystyle{ \mbox{d}\vec{p}/\mbox{d}t = \vec{F} }[/math]).
• Сохранение. Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени: [math]\displaystyle{ \mbox{d}\vec{p}/\mbox{d}t = 0 }[/math] (см. статью Закон сохранения импульса).

Сохранение импульса следует из второго и третьего законов Ньютона: записав второй закон для каждой из составляющих систему материальных точек, представив силу, действующую на каждую точку, как внешнюю [math]\displaystyle{ \vec{F}_{i,ext} }[/math] плюс силу взаимодействия со всеми остальными точками, затем просуммировав, получим:

[math]\displaystyle{ \frac{d\vec p}{dt} = \sum_i\frac{d\vec{p}_i}{dt} = \sum_i \vec{F}_i = \sum_i \left(\vec{F}_{i, ext} + \sum_{j,j\ne j}\vec{F}_{i, j}\right) = \sum_i \vec{F}_{i, ext} + \sum_i\sum_{j,j\ne i} F_{i,j}. }[/math]

Первое слагаемое равно нулю из-за компенсации внешних сил, а второе — вследствие третьего закона Ньютона (слагаемые [math]\displaystyle{ \vec{F}_{a,b} }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{F}_{b,a} }[/math] в двойной сумме попарно уничтожают друг друга).

Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно для получения математического выражения импульса.

При наличии электромагнитного взаимодействия между материальными точками третий закон Ньютона может не выполняться — и тогда сохранения суммы импульсов точек не будет. В таких случаях, особенно в релятивистской механике, удобнее включать в понятие «система» не только совокупность точек, но и поле взаимодействия между ними. Соответственно, будут учтены не только импульсы составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия. При этом вводится величина — тензор энергии-импульса, которая в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Что касается 4-импульса, то для системы не взаимодействующих материальных точек их совокупный 4-импульс равен сумме по всем частицам. При наличии взаимодействия такое суммирование теряет смысл.

Обобщённый импульс

В теоретической механике в целом

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости:

[math]\displaystyle{ p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}. }[/math]

Обобщенный импульс, как и не обобщённый, обозначается буквой [math]\displaystyle{ \vec{p}; }[/math] обычно из контекста ясно, о чём идёт речь.

Размерность обобщённого импульса зависит от размерности обобщённой координаты. Если размерность [math]\displaystyle{ q_i }[/math] — длина, то [math]\displaystyle{ p_i }[/math] будет иметь размерность обычного импульса, если же координатой [math]\displaystyle{ q_i }[/math] выступает угол (величина безразмерная), то [math]\displaystyle{ p_i }[/math] обретёт размерность момента импульса. Если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то из уравнений Лагранжа [math]\displaystyle{ dp_i/dt=0. }[/math]

Если обобщённая координата — это обычная координата (и тогда её производная по времени — просто скорость), а внешних полей нет, обобщённый импульс тождественен обычному. Так, для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид:

[math]\displaystyle{ \mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2} }[/math], отсюда: [math]\displaystyle{ \vec {p}= m \vec {v}/\sqrt{1-v^2/c^2} }[/math].

Для частицы в электромагнитном поле

В электромагнитном поле лагранжиан частицы будет отличаться от приведённого выше наличием дополнительных членов, а именно [math]\displaystyle{ \mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}-q\varphi + q\vec{v}\cdot\vec{A}. }[/math] Соответственно, обобщённый импульс частицы равен:

[math]\displaystyle{ \mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf A }[/math] — векторный потенциал электромагнитного поля, [math]\displaystyle{ q }[/math] — заряд частицы; в выражении для [math]\displaystyle{ \mathcal L }[/math] фигурировал также скалярный потенциал [math]\displaystyle{ \varphi }[/math].

Импульс электромагнитного поля

Основная статья: Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

[math]\displaystyle{ \mathbf p = \frac{1}{c^2}\int \mathbf S dV = \frac{1}{c^2} \int [\mathbf E \times \mathbf H] dV }[/math] (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Определение через оператор

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид:

[math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{P}}=\sum_j\hat{\mathbf{p}}_j=\sum_j -i\hbar\nabla_j }[/math],

где [math]\displaystyle{ \nabla_j }[/math] — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам [math]\displaystyle{ j }[/math]-ой частицы.

Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = \sum_i \frac{1}{2m_i}\hat{\mathbf{p}}_i^2 + U(\mathbf{r_1},\dots) }[/math].

Для замкнутой системы ([math]\displaystyle{ U = 0 }[/math]) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля рассматриваемого объекта.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны [math]\displaystyle{ \lambda: }[/math]

[math]\displaystyle{ p = \frac h \lambda }[/math],

где [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью [math]\displaystyle{ v\ll c }[/math] (скорости света), модуль импульса равен [math]\displaystyle{ p=mv }[/math] (где [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса частицы), и:

[math]\displaystyle{ \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} }[/math].

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

[math]\displaystyle{ \vec p = \frac h {2 \pi} \vec k = \hbar \vec k }[/math],

где [math]\displaystyle{ \vec k }[/math] — волновой вектор.

Как и в классической механике, в квантовой имеет место сохранение импульса в изолированных системах. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс записывается «классически» как [math]\displaystyle{ p=mv }[/math], а если проявляются волновые свойства, действует связь [math]\displaystyle{ p=h\lambda^{-1} }[/math]. При этом, как и в классической механике, сохранение импульса выступает следствием симметрии относительно сдвигов по координатам.

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа [math]\displaystyle{ \rho. }[/math] При этом вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

[math]\displaystyle{ \vec s = \rho\vec v. }[/math]

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока в соответствии с методом О. Рейнольдса получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса.

Если в согласии с методом Рейнольдса представить [math]\displaystyle{ \rho = \overline {\rho} + \rho' , }[/math] [math]\displaystyle{ \vec v = \overline {\vec v} + \vec v' , }[/math], где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

[math]\displaystyle{ \ \overline{\vec s} = \overline{\rho \vec v}=\overline{\rho}~\overline{ \vec v} + \vec S, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \ \vec S = \overline{\rho' \vec v'} }[/math] — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»).

Импульсное представление в квантовой теории поля

В квантовой теории поля часто употребляется импульсное представление на основе использования преобразования Фурье. Его преимуществами являются: удобство описания физических систем при помощи энергий и импульсов, а не при помощи пространственно-временных координат; более компактная и наглядная структура динамических переменных.

См. также

• Импульс силы
• Момент импульса
• Электрический импульс

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
• Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.