Квантовая наблюдаемая

Ква́нтовая наблюда́емая (наблюда́емая ква́нтовой систе́мы, иногда просто наблюда́емая) является линейным самосопряжённым оператором, действующим на сепарабельном (комплексном) гильбертовом пространстве чистых состояний квантовой системы. В интуитивном физическом понимании норма оператора наблюдаемой представляет собой наибольшую абсолютную величину измеряемого числового значения физической величины.

Иногда вместо термина «наблюдаемая» используют «динамическая величина», «физическая величина». Однако температура и время являются физическими величинами, но не являются наблюдаемыми в квантовой механике.

Тот факт, что квантовым наблюдаемым сопоставляются линейные операторы, ставит проблему связи этих математических объектов с экспериментальными данными, которые являются вещественными числами. На опыте измеряются вещественные числовые значения, соответствующие наблюдаемой в заданном состоянии. Важнейшими характеристиками распределения числовых значений на вещественной прямой являются среднее значение [math]\displaystyle{ \langle A \rangle }[/math] наблюдаемой и дисперсия [math]\displaystyle{ D(A) }[/math] наблюдаемой.

Обычно постулируют, что возможные числовые значения квантовой наблюдаемой, которые могут быть измерены экспериментально, являются собственными значениями оператора этой наблюдаемой.

Говорят, что наблюдаемая [math]\displaystyle{ A }[/math] в состоянии [math]\displaystyle{ \rho }[/math] имеет точное значение, если дисперсия [math]\displaystyle{ A }[/math] равна нулю [math]\displaystyle{ D(A)=0 }[/math].

Другое определение квантовой наблюдаемой: наблюдаемыми квантовой системы являются самосопряжённые элементы [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебры.

Использование структуры [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебры позволяет сформулировать классическую механику аналогично квантовой. При этом для некоммутативных [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебр, описывающих квантовые наблюдаемые, имеет место теорема Гельфанда — Наймарка: любая [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебра может быть реализована алгеброй ограниченных операторов, действующих в некотором гильбертовом пространстве. Для коммутативных [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебр, описывающих классические наблюдаемые, имеем следующую теорему: всякая коммутативная [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебра [math]\displaystyle{ M }[/math] изоморфна алгебре непрерывных функций, заданных на компактном множестве максимальных идеалов алгебры [math]\displaystyle{ M }[/math].

В квантовой механике часто постулируется следующее утверждение. Каждой паре наблюдаемых [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] соответствует наблюдаемая [math]\displaystyle{ C }[/math], устанавливающая нижнюю грань одновременной (для одного и того же состояния) измеримости [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], в том смысле, что [math]\displaystyle{ D(A) D(B) \ge \langle C\rangle^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ D(A) }[/math] — дисперсия наблюдаемой, равная [math]\displaystyle{ \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2 }[/math]. Это утверждение, называемое принципом неопределённости, выполняется автоматически, если [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] являются самосопряжёнными элементами [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебры. При этом принцип неопределённости принимает свою обычную форму, где [math]\displaystyle{ C=i[A,B] }[/math].

Понятия квантовой наблюдаемой и квантового состояния являются дополнительными, дуальными. Эта дуальность связана с тем, что в опыте определяются лишь средние значения наблюдаемых, а в это понятие входит и понятие наблюдаемой, и понятие состояния.

Если эволюция квантовой системы во времени полностью характеризуется её гамильтонианом, то уравнением эволюции наблюдаемой является уравнение Гейзенберга. Уравнение Гейзенберга описывает изменение квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы с течением времени.

В классической механике наблюдаемой называется вещественная гладкая функция, определённая на гладком вещественном многообразии, описывающем чистые состояния классической системы.

Между классическими и квантовыми наблюдаемыми существует взаимосвязь. Обычно полагают, что задать процедуру квантования означает установить правило, согласно которому каждой наблюдаемой классической системе, то есть функции на гладком многообразии, ставится в соответствие некоторая квантовая наблюдаемая. В квантовой механике наблюдаемыми считаются операторы в гильбертовом пространстве. В качестве гильбертова пространства обычно выбирают комплексное бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Сама функция, соответствующая данному оператору, при этом называется символом оператора.

См. также

Литература

Березин Ф. А., Шубин М. А., «Уравнение Шредингера» М.: МГУ, 1983. 392 с.
Бом Д. «Квантовая механика: основы и приложения» пер с англ. М.: Мир, 1990. — 720 с.
Брателли У., Робинсон Д. «Операторные алгебры и квантовая статистическая механика» М.: Мир, 1982. — 512 с.
Джет Неструев «Гладкие многообразия и наблюдаемые» Архивная копия от 20 июля 2011 на Wayback Machine, МЦНМО, Москва, 2000—300 c.
Фадеев Л. Д., Якубовский О. А. «Лекции по квантовой механике для студентов-математиков» Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. — 200 с.
Эмх Ж. «Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля» М.: Мир, 1976. 424 с.