Сжимающее отображение

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве [math]\displaystyle{ (\mathbb{M}, \rho) }[/math] определён оператор [math]\displaystyle{ A: \mathbb{M}\to\mathbb{M} }[/math]. Он называется сжимающим на [math]\displaystyle{ \mathbb{M} }[/math], если существует такое неотрицательное число [math]\displaystyle{ \alpha\lt 1 }[/math], что для любых двух точек [math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb{M} }[/math] выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ {\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)} }[/math].

Свойства

• (Непрерывность) Пусть [math]\displaystyle{ (\mathbb{M}, \rho) }[/math] — метрическое пространство и [math]\displaystyle{ \mathbb{}A }[/math] — сжимающий оператор на [math]\displaystyle{ \mathbb{M} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ \mathbb{}A }[/math] — непрерывная функция на [math]\displaystyle{ \mathbb{M} }[/math].

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

[math]\displaystyle{ \mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*} }[/math].

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент метрического пространства [math]\displaystyle{ x }[/math] и рассмотреть последовательность элементов [math]\displaystyle{ x, Ax, A^2x,.... }[/math], то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора [math]\displaystyle{ A }[/math].

Применение

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Ссылки

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.