Радиус-вектор

Ра́диус-ве́ктор (обозначается буквой [math]\displaystyle{ r }[/math] со стрелкой: [math]\displaystyle{ \vec r }[/math] или набираемой жирным шрифтом: [math]\displaystyle{ \mathbf r }[/math]) — вектор, задающий положение точки в пространстве (например, евклидовом) относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат. Понятие используется в математике (геометрии) и физике.

Радиус-вектор в геометрии

Для произвольной точки в пространстве радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина, или модуль радиус-вектора — расстояние, на котором точка находится от начала координат, стрелка вектора — указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Запись в различных системах координат

Двумерное пространство

• Декартовы координаты: [math]\displaystyle{ \quad\vec r=x\vec{e}_x+y\vec e_y }[/math]
• Полярные координаты: [math]\displaystyle{ \quad\vec r=\rho\vec{e}_\rho }[/math]

Трёхмерное пространство

• Декартовы координаты: [math]\displaystyle{ \quad\vec r=x\vec{e}_x+y\vec e_y+z\vec e_z }[/math]
• Цилиндрические координаты: [math]\displaystyle{ \quad\vec r=\rho\vec{e}_\rho+z\vec e_z }[/math]
• Сферические координаты: [math]\displaystyle{ \quad\vec r=\rho\vec{e}_\rho }[/math]

n-мерное пространство

• Декартовы координаты: [math]\displaystyle{ \quad\vec r = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + ... + x_n\vec{e}_n }[/math]

Радиус-вектор в кинематике

В кинематике изменение радиус-вектора со временем, то есть функция [math]\displaystyle{ \vec r(t) }[/math], определяет движение материальной точки. Если указанная функция известна, на её основе могут быть вычислены скорость и ускорение:

[math]\displaystyle{ \vec v(t) = \frac{\mbox{d}\vec{r}(t)}{\mbox{d}t} = \dot\vec{r}(t) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec a(t) = \frac{\mbox{d}^2\vec{r}(t)}{\mbox{d}t^2} = \ddot\vec{r}(t) }[/math],

где точка сверху обозначает дифференцирование по времени, а две точки — двукратное дифференцирование.

В таком виде запись применима к системе координат любого типа. Но переход к трём координатам декартовой, цилиндрической и сферической систем осуществляется по-разному. Например, если для декартовых координат [math]\displaystyle{ \vec{v} = \dot x\vec{e}_x + \dot y\vec{e}_y + \dot z\vec{e}_z }[/math], то для цилиндрической системы имеем не [math]\displaystyle{ \vec{v} = \dot\rho\vec{e}_{\rho} + \dot\varphi\vec{e}_{\varphi} + \dot z\vec{e}_z }[/math], а выражение: [math]\displaystyle{ \vec{v} = \dot\rho\vec{e}_{\rho} + \rho\dot\varphi\vec{e}_{\varphi} + \dot z\vec{e}_z }[/math]; ускорение в последнем случае: [math]\displaystyle{ \vec{a} = (\ddot{\rho} - \rho\dot{\varphi}^2) \vec{e}_{\rho} + (2\dot{\rho}\dot{\varphi} + \rho\ddot{\varphi}) \vec{e}_{\varphi} + \ddot{z}\vec{e}_{z} }[/math].