Открытое множество
Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью (в метрических пространствах и, в частности, на числовой прямой). Например, внутренность шара (без границы) является открытым множеством, а шар вместе с границей — не является открытым.
Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и в этом случае никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры)[1][2]. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.
Евклидово пространство
Пусть [math]\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^n }[/math] есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда [math]\displaystyle{ U }[/math] называется открытым, если [math]\displaystyle{ \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon \gt 0, }[/math] такое что [math]\displaystyle{ V_{\varepsilon}(x_0) \subset U }[/math], где [math]\displaystyle{ V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \left\{x \in \mathbb{R}^n:\|x - x_0 \| \lt \varepsilon\right\} }[/math] — ε-окрестность точки [math]\displaystyle{ x_0. }[/math]
Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.
Например, интервал [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] как подмножество действительной прямой является открытым множеством. В то же время отрезок [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] или полуинтервал [math]\displaystyle{ [a,b) }[/math] не являются открытыми, так как точка [math]\displaystyle{ a }[/math] принадлежит множеству, но ни одна её окрестность в этом множестве не содержится.
Метрическое пространство
Пусть [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] — некоторое метрическое пространство, и [math]\displaystyle{ U \subset X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ U }[/math] называется открытым, если [math]\displaystyle{ \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon \gt 0, }[/math] такое что [math]\displaystyle{ V_{\varepsilon}(x_0) \subset U }[/math], где [math]\displaystyle{ V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \rho(x,x_0) \lt \varepsilon\} }[/math] — ε-окрестность точки [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] относительно метрики [math]\displaystyle{ \rho }[/math]. Другими словами, множество [math]\displaystyle{ U }[/math] в метрическом пространстве [math]\displaystyle{ (X,\rho) }[/math] называется открытым множеством, если каждая точка [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] множества [math]\displaystyle{ U }[/math] входит в это множество вместе с некоторым открытым шаром с центром в точке [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math][3].
Топологическое пространство
Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.
Топологическое пространство [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math] по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math] — «топологию», определённую на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Подмножество [math]\displaystyle{ U \subset X }[/math], такое, что оно является элементом топологии (то есть [math]\displaystyle{ U \in \mathcal{T} }[/math]), называется открытым множеством относительно топологии [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math].
Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество [math]\displaystyle{ G }[/math] содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества [math]\displaystyle{ G }[/math] [4].
История
Открытые множества были введены Рене-Луи Бэром в 1899 году.[5]
См. также
Примечания
- ↑ Appert, Antoine. Sur le meilleur terme primitif en topologie (фр.) // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. — 1982. — No 3. — P. 65. Архивировано 17 февраля 2009 года.
- ↑ open set на everything2.com (англ.)
- ↑ Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 29
- ↑ Александров П. С., Пасынков В. А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24—25.
- ↑ R. Baire. “Sur les fonctions de variables réelles”. Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922) 3.1 (1899), pp. 1–123.