Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb{O} }[/math], поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом, приятелем Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов [math]\displaystyle{ \{1, i, j, k, l, il, jl, kl\} }[/math]. Каждая октава [math]\displaystyle{ x }[/math] может быть записана в форме:

[math]\displaystyle{ x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl }[/math]

с вещественными коэффициентами [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн.

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j (e2)	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k (e3)	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l (e4)	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il (e5)	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl (e6)	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl (e7)	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов:

e0	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6
e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	−e5
e3	e2	−e1	−1	e7	−e6	e5	−e4
e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3
e5	e4	−e7	e6	−e1	−1	−e3	e2
e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	−1	−e1
e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	−1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер	1	2	3	4	5	6	7
Буквы	i	j	k	l	il	jl	kl
Замена	i	j	k	l	m	n	o

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Для октониона [math]\displaystyle{ x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl }[/math] операция сопряжения определена равенством:

[math]\displaystyle{ x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl }[/math].

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

[math]\displaystyle{ ( xy)^*=y^* x^* }[/math] и

[math]\displaystyle{ x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)). }[/math]

Вещественная часть октониона [math]\displaystyle{ x }[/math] определена равенством:

[math]\displaystyle{ \frac 12(x + x^*) = x_0 }[/math],

мнимая часть:

[math]\displaystyle{ \frac 12(x - x^*) }[/math].

Норма октониона [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ \|x\| = \sqrt{x^* x} }[/math]; [math]\displaystyle{ \|x\|=0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. Из определения нормы следует, что октонион [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] обратим и

[math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2} }[/math].

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

Литература

• Джон Баэс. Октонионы Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.