Алгебра Кэли
А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb{O} }[/math], поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.
Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом[англ.], приятелем[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.
Число Кэли — это линейная комбинация элементов [math]\displaystyle{ \{1, i, j, k, l, il, jl, kl\} }[/math]. Каждая октава [math]\displaystyle{ x }[/math] может быть записана в форме:
- [math]\displaystyle{ x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl }[/math]
с вещественными коэффициентами [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн[2].
Таблицы умножения
Таблица умножения элементов октавы:
1 | i (e1) | j (e2) | k (e3) | l (e4) | il (e5) | jl (e6) | kl (e7) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
i (e1) | −1 | k | −j | il | −l | −kl | jl |
j (e2) | −k | −1 | i | jl | kl | −l | −il |
k (e3) | j | −i | −1 | kl | −jl | il | −l |
l (e4) | −il | −jl | −kl | −1 | i | j | k |
il (e5) | l | −kl | jl | −i | −1 | −k | j |
jl (e6) | kl | l | −il | −j | k | −1 | −i |
kl (e7) | −jl | il | l | −k | −j | i | −1 |
Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]:
e0 | e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
e1 | −1 | e3 | −e2 | e5 | −e4 | −e7 | e6 |
e2 | −e3 | −1 | e1 | e6 | e7 | −e4 | −e5 |
e3 | e2 | −e1 | −1 | e7 | −e6 | e5 | −e4 |
e4 | −e5 | −e6 | −e7 | −1 | e1 | e2 | e3 |
e5 | e4 | −e7 | e6 | −e1 | −1 | −e3 | e2 |
e6 | e7 | e4 | −e5 | −e2 | e3 | −1 | −e1 |
e7 | −e6 | e5 | e4 | −e3 | −e2 | e1 | −1 |
Иногда заменяются буквенным обозначением:
Номер | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Буквы | i | j | k | l | il | jl | kl |
Замена | i | j | k | l | m | n | o |
Свойства
По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.
Для октониона [math]\displaystyle{ x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl }[/math] операция сопряжения определена равенством:
- [math]\displaystyle{ x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl }[/math].
Сопряжение удовлетворяет равенствам:
- [math]\displaystyle{ ( xy)^*=y^* x^* }[/math] и
- [math]\displaystyle{ x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)). }[/math]
Вещественная часть октониона [math]\displaystyle{ x }[/math] определена равенством:
- [math]\displaystyle{ \frac 12(x + x^*) = x_0 }[/math],
мнимая часть:
- [math]\displaystyle{ \frac 12(x - x^*) }[/math].
Норма октониона [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ \|x\| = \sqrt{x^* x} }[/math]; [math]\displaystyle{ \|x\|=0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. Из определения нормы следует, что октонион [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] обратим и
- [math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2} }[/math].
Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.
Примечания
- ↑ Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (недоступная ссылка) (26 января 2003). Дата обращения: 4 октября 2009. Архивировано 27 февраля 2012 года.
- ↑ Ian Stewart: The Missing Link Архивная копия от 5 мая 2010 на Wayback Machine (недоступная ссылка с 19-05-2013 [4294 дня] — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
Статья The missing link (недоступная ссылка) на yahoo.com, русский перевод Архивная копия от 6 мая 2010 на Wayback Machine на scientific.ru. - ↑ Антисимметрия по диагонали для −1
Литература
- Джон Баэс. Октонионы Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.