Алгебра Кэли

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathbb{O} }[/math], поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом[en], приятелем[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов [math]\displaystyle{ \{1, i, j, k, l, il, jl, kl\} }[/math]. Каждая октава [math]\displaystyle{ x }[/math] может быть записана в форме:

[math]\displaystyle{ x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl }[/math]

с вещественными коэффициентами [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн[2].

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

1 i (e1) j (e2) k (e3) l (e4) il (e5) jl (e6) kl (e7)
i (e1) −1 k j il l kl jl
j (e2) k −1 i jl kl l il
k (e3) j i −1 kl jl il l
l (e4) il jl kl −1 i j k
il (e5) l kl jl i −1 k j
jl (e6) kl l il j k −1 i
kl (e7) jl il l k j i −1
Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов[3]:

e0 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 −1 e3 −e2 e5 −e4 −e7 e6
e2 −e3 −1 e1 e6 e7 −e4 −e5
e3 e2 −e1 −1 e7 −e6 e5 −e4
e4 −e5 −e6 −e7 −1 e1 e2 e3
e5 e4 −e7 e6 −e1 −1 −e3 e2
e6 e7 e4 −e5 −e2 e3 −1 −e1
e7 −e6 e5 e4 −e3 −e2 e1 −1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер 1 2 3 4 5 6 7
Буквы i j k l il jl kl
Замена i j k l m n o

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Для октониона [math]\displaystyle{ x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl }[/math] операция сопряжения определена равенством:

[math]\displaystyle{ x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl }[/math].

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

[math]\displaystyle{ ( xy)^*=y^* x^* }[/math] и
[math]\displaystyle{ x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)). }[/math]

Вещественная часть октониона [math]\displaystyle{ x }[/math] определена равенством:

[math]\displaystyle{ \frac 12(x + x^*) = x_0 }[/math],

мнимая часть:

[math]\displaystyle{ \frac 12(x - x^*) }[/math].

Норма октониона [math]\displaystyle{ x }[/math]: [math]\displaystyle{ \|x\| = \sqrt{x^* x} }[/math]; [math]\displaystyle{ \|x\|=0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. Из определения нормы следует, что октонион [math]\displaystyle{ x\ne 0 }[/math] обратим и

[math]\displaystyle{ x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2} }[/math].

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

Примечания

  1. Куда же спряталась самая свободная алгебра? (HTML) (недоступная ссылка) (26 января 2003). Дата обращения: 4 октября 2009. Архивировано 27 февраля 2012 года.
  2. Ian Stewart: The Missing Link Архивная копия от 5 мая 2010 на Wayback Machine  (недоступная ссылка с 19-05-2013 [3938 дней] — история) (англ.). Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010.
    Статья The missing link (недоступная ссылка) на yahoo.com, русский перевод Архивная копия от 6 мая 2010 на Wayback Machine на scientific.ru.
  3. Антисимметрия по диагонали для −1

Литература