Рациональная функция

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Пример рациональной функции от одной переменной: [math]\displaystyle{ f(x) = \frac{x^2-3x-2}{x^2-4} }[/math]
Пример рациональной функции от двух переменных

Рациона́льная фу́нкция, или дро́бно-рациона́льная фу́нкция, или рациона́льная дробь — это числовая функция, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены. К этому виду может быть приведено любое рациональное выражение[⇨], то есть алгебраическое выражение, без радикалов.

Формальное определение

Рациональная функция[1][2], или дробно-рациональная функция[1][3], или рациональная дробь[3] — это числовая функция вида

[math]\displaystyle{ \mathbb{U} \to \mathbb{U} : w = R(u), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbb{U} }[/math]комплексные ([math]\displaystyle{ \Z }[/math]) или вещественные ([math]\displaystyle{ \R }[/math]) числа, [math]\displaystyle{ R(u) }[/math] — рациональное выражение от [math]\displaystyle{ u }[/math]. Рациональное выражение — это математическое выражение, составленное из независимого переменного (комплексного или вещественного) и конечного набора чисел (соответственно комплексных или вещественных) с помощью конечного числа арифметических действий (то есть сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень)[4].

Рациональная функция допускает запись (не единственным образом) в виде отношения двух многочленов [math]\displaystyle{ P(u) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q(u) }[/math]:

[math]\displaystyle{ R(u) = \frac{P(u)}{Q(u)} = \frac{a_0 + a_1 u + a_2 u^2 + \cdots + a_n u^n}{b_0 + b_1 u + b_2 u^2 + \cdots + b_m u^m}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Q(u) \not\equiv 0. }[/math] Коэффициенты рациональной функции — это коэффициенты многочленов [math]\displaystyle{ P(u) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q(u) }[/math]:

[math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \dots, a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_0, b_1, b_2, \dots, b_m }[/math][4].

Частные случаи

[math]\displaystyle{ \R \to \R : y = \frac{P(x)}{1}, }[/math]
где переменная [math]\displaystyle{ x }[/math] действительна.
[math]\displaystyle{ \C \to \C : w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}. }[/math]
  • Преобразование Кэли
[math]\displaystyle{ \C \to \C : w = W(z) = \frac{z - i}{z + i}. }[/math]
[math]\displaystyle{ \C \to \C : w = \lambda(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right), }[/math]
имеющая важные применения в гидромеханике, открытые Н. Е. Жуковским[5].

Обобщения

  • Рациональные функции от нескольких переменных (комплексных или вещественных)
[math]\displaystyle{ \mathbb{U}^{\max(n, m)} \to \mathbb{U} : w = R(u_1, u_2, \dots, u_{\max(n, m)}) = \frac{P(u_1, u_2, \dots, u_n)}{Q(u_1, u_2, \dots, u_m)}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ Q(u_1, u_2, \dots, u_m) \not\equiv 0 }[/math][4].
  • Абстрактные рациональные функции
[math]\displaystyle{ R = \frac{A_1 F_1 + A_2 F_2 + \cdots + A_n F_n}{B_1 F_1 + B_2 F_2 + \cdots + B_m F_m}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ F_1, F_2, \dots, F_{\max(n, m)} }[/math]линейно независимая система непрерывных функций на некотором компактном пространстве, [math]\displaystyle{ A_1, A_2, \dots, A_n, }[/math] и [math]\displaystyle{ B_1, B_2, \dots, B_m }[/math] — числовые коэффициенты[4].

Вещественная рациональная функция

Несократимая рациональная дробь

Несократимая рациональная дробь — это рациональная дробь, у которой числитель взаимно прост со знаменателем[3].

Любая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, которая определяется с точностью до константы, общей для числителя и знаменателя. Равенство двух рациональных дробей понимается в том же смысле, что и равенство дробей в элементарной математике[3].

Правильная рациональная дробь

Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя. Нулевой многочлен 0 является правильной дробью. Любая рациональная дробь единственным способом представима как сумма многочлена и правильной дроби[3].

Простейшая рациональная дробь

Правильная рациональная дробь [math]\displaystyle{ \frac{f(x)}{g(x)} }[/math] простейшая, если её знаменатель [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] представляет собой степень неприводимого многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ g(x) = p^k(x), k \geqslant 1, }[/math]

а степень числителя [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] меньше степени [math]\displaystyle{ p(x) }[/math]. Имеют место быть две теоремы[3].

  • Основная теорема. Любая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
  • Теорема единственности. Любая правильная рациональная дробь имеет единственное разложение в сумму простейших дробей.

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей

Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей используется во многих задачах, например:

Свойства

  • Любое выражение, которое можно получить из переменных [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math] с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
  • Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции, а также является полем в том случае, если коэффициенты многочленов принадлежат некоторому полю.

Правильные дроби

Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения [math]\displaystyle{ (x-a)^k }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] — вещественный корень [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math]) либо [math]\displaystyle{ (x^2+px+q)^k }[/math] (где [math]\displaystyle{ x^2+px+q }[/math] не имеет действительных корней), причём степени [math]\displaystyle{ k }[/math] не больше кратности соответствующих корней в многочлене [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math]. На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.

C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[11].

См. также

Примечания

Литература

  • Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971. 255 с., 77 ил., библ. 15 названий.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры : учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 431 с.: ил. ISBN 978-5-8114-6851-5.
  • Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.
  • Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 4 Ок—Сло. М.: «Советская Энциклопедия», 1984. 1216 стб., ил.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. 10-е изд., испр. М.: МЦНМО, 2019. xii+564 с., ил. 65, библ. 54 назв. 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).