Вычислимое число

В математике вычислимое (или рекурсивное) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма (для комплексных чисел должны быть вычислимы и действительная, и мнимая части).

Число, не являющееся вычислимым, называется невычислимым (примером невычислимого числа является константа Хайтина в проблеме остановки).

Любое алгебраическое число (а значит, любое рациональное и тем более любое целое число) является вычислимым. Любой элемент кольца периодов (что включает в себя число π и многие другие трансцендентные числа) является вычислимым. Любое вычислимое число является арифметическим.

Множество всех вычислимых чисел является счётным множеством, а множество всех невычислимых чисел — несчётным. Множество всех вычислимых чисел (равно как и множество всех невычислимых чисел) плотно в [math]\displaystyle{ \R }[/math] и в [math]\displaystyle{ \Complex. }[/math]

Порядок на множестве вычислимых действительных чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Определение

Вещественное число [math]\displaystyle{ x }[/math] называется вычислимым, если существует алгоритм, который позволяет для каждого [math]\displaystyle{ n \in P }[/math] вычислить за конечное число шагов двоичную дробь [math]\displaystyle{ a = \frac{k}{2^r},\ k \in \mathbb Z,\ r \in \mathbb N }[/math], такую, что [math]\displaystyle{ |x - a| \lt 2^{-n} }[/math].

Свойства

• Сумма, разность и произведение вычислимых чисел являются вычислимыми.
• Предел вычислимой последовательности рациональных чисел не обязательно является вычислимым числом (но всегда является 0′-вычислимым)
• Существует взаимно однозначное соответствие между вычислимыми подмножествами [math]\displaystyle{ S \subset P }[/math] и вычислимыми вещественными числами [math]\displaystyle{ x \in [0, 1] }[/math].

См. также

• Алгоритмическая разрешимость
• Степень неразрешимости