Упорядоченное поле

Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение [math]\displaystyle{ \leqslant }[/math] (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: [math]\displaystyle{ x \leqslant x }[/math].
2. Транзитивность: если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ y \leqslant z }[/math], то [math]\displaystyle{ x \leqslant z }[/math].
3. Антисимметричность: если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ y \leqslant x }[/math], то [math]\displaystyle{ x=y }[/math].
4. Линейность: все элементы [math]\displaystyle{ F }[/math] сравнимы между собой, то есть либо [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math], либо [math]\displaystyle{ y \leqslant x }[/math].

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

5. Если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math], то для любого z: [math]\displaystyle{ x+z \leqslant y+z }[/math].
6. Если [math]\displaystyle{ 0 \leqslant x }[/math] и [math]\displaystyle{ 0 \leqslant y }[/math], то [math]\displaystyle{ 0 \leqslant x y }[/math].

Если все 6 аксиом выполнены, то поле [math]\displaystyle{ F }[/math] называется упорядоченным.

Связанные определения

• Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: [math]\displaystyle{ x \geqslant y }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ y \leqslant x }[/math].

Отношение больше: [math]\displaystyle{ x \gt y }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ x \geqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ x \ne y }[/math].

Отношение меньше: [math]\displaystyle{ x \lt y }[/math] означает, что [math]\displaystyle{ y\gt x }[/math].

• Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
• Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину [math]\displaystyle{ |x| }[/math] элемента [math]\displaystyle{ x }[/math] как [math]\displaystyle{ max(x, -x) }[/math].

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества [math]\displaystyle{ P }[/math], ноль и [math]\displaystyle{ -P }[/math] не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим [math]\displaystyle{ P_0 =P \cup \{0\} }[/math] (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

[math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math], если [math]\displaystyle{ y-x \in P_0 }[/math]

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

Свойства

• Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если [math]\displaystyle{ x }[/math] положителен, то [math]\displaystyle{ -x }[/math] отрицателен, и наоборот.
• В любом упорядоченном поле [math]\displaystyle{ 1\gt 0 }[/math] и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ x' \leqslant y' }[/math], то [math]\displaystyle{ x+x' \leqslant y+y' }[/math].

• Неравенства можно умножать на положительные элементы:

Если [math]\displaystyle{ x \leqslant y }[/math] и [math]\displaystyle{ c \geqslant 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ c x \leqslant c y }[/math].

Неединственность порядка

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида [math]\displaystyle{ a+b\sqrt{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ a,b }[/math] — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел» [math]\displaystyle{ P }[/math] те числа [math]\displaystyle{ a+b\sqrt{2} }[/math], для которых [math]\displaystyle{ a\gt b\sqrt{2} }[/math]. Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены.

Место в иерархии алгебраических структур

• Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
• Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • В частности, конечное поле не допускает порядка.
• Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ -1 }[/math] не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
• Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
• Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math].
• Любое упорядоченное поле может быть вложено в упорядоченное поле сюрреальных чисел с сохранением порядка.

Примеры

• Рациональные числа
• Вещественные числа
• Вещественные алгебраические числа
• Поле вещественных рациональных функций: [math]\displaystyle{ \frac {p(x)} {q(x)} }[/math], где [math]\displaystyle{ p(x), q(x) }[/math] — многочлены, [math]\displaystyle{ q(x) \ne 0 }[/math]. Упорядочим его следующим образом.
  • Пусть [math]\displaystyle{ p(x)=p_0 x^n + \dots + p_n;\quad q(x) = q_0 x^m + \dots + q_m. }[/math] Будем считать, что функция [math]\displaystyle{ \frac {p(x)} {q(x)} \gt 0 }[/math], если [math]\displaystyle{ \frac {p_0} {q_0} \gt 0 }[/math]. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
  • Из определения вытекает, что многочлен [math]\displaystyle{ p(x)=x }[/math] больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби) [math]\displaystyle{ r(x) }[/math], для которых [math]\displaystyle{ r(\pi)\gt 0 }[/math].
• Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
• Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}[\theta] }[/math], порождённое добавлением к полю рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] числа [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — одного из комплексных корней многочлена [math]\displaystyle{ x^3-2 }[/math]. Данное поле изоморфно вещественному полю [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}] }[/math], поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок

Примеры неупорядочиваемых полей

• комплексные числа
• конечные поля
• p-адические числа

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..