Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость — геометрическое представление множества комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math].

Геометрическое представление комплексного числа

Точка двумерной вещественной плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^2 }[/math], имеющая координаты [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math], изображает комплексное число [math]\displaystyle{ z=x+iy }[/math], где:

[math]\displaystyle{ x=\mathrm{Re}\,z }[/math] — действительная (вещественная) часть комплексного числа,

[math]\displaystyle{ y=\mathrm{Im}\,z }[/math] — его мнимая часть.

Другими словами, комплексному числу [math]\displaystyle{ z=x+iy }[/math] соответствует радиус-вектор с координатами [math]\displaystyle{ (x,y). }[/math] Алгебраическим операциям над комплексными числами соответствуют операции над соответствующими им точками или векторами. Тем самым различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

• сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
• умножению на комплексное число [math]\displaystyle{ re^{i\varphi} }[/math] соответствует поворот радиус-вектора на угол [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и растяжение радиус-вектора в [math]\displaystyle{ r }[/math] раз;
• корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя. Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0} }[/math] точки [math]\displaystyle{ z_0\in\mathbb C }[/math] называется множество вида [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|\lt r\},\,r\gt 0 }[/math]. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности [math]\displaystyle{ \dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\} }[/math].

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую её окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка [math]\displaystyle{ z_0\in\mathbb C }[/math] будет предельной для множества [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math], если для произвольной окрестности [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0} }[/math] пересечение [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0}\cap G }[/math] будет не пусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается [math]\displaystyle{ G' }[/math].

Множество [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math] будет называться замкнутым, если для него справедливо включение [math]\displaystyle{ G'\subset G }[/math]. Ясно видно, что для произвольного множества [math]\displaystyle{ G }[/math] множество [math]\displaystyle{ \overline{G}=G\cup G' }[/math] будет замкнуто; оно называется замыканием множества [math]\displaystyle{ G }[/math].

Граница

Точка [math]\displaystyle{ z_0\in\mathbb C }[/math] будет называться граничной для множества [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math], если для произвольной окрестности [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0} }[/math] пересечения [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0}\cap G }[/math] и [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G) }[/math] будут не пусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством [math]\displaystyle{ \partial G }[/math] или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество [math]\displaystyle{ E\subset\mathbb C }[/math] будет называться всюду плотным в ином множестве [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math], если для произвольной точки [math]\displaystyle{ z_0\in G }[/math] и любой окрестности [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0} }[/math] пересечение [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{z_0}\cap E }[/math] не пусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] и некоторым множеством [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math] как величину [math]\displaystyle{ \mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0| }[/math].

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]: [math]\displaystyle{ \mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1) }[/math].

Связность

Множество [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math] называется связным, если для него выполнено соотношение [math]\displaystyle{ \inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0 }[/math]. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество [math]\displaystyle{ G }[/math] можно представить в виде объединения (конечного или счетного) [math]\displaystyle{ \sum G_n }[/math], где [math]\displaystyle{ G_n }[/math] — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества [math]\displaystyle{ G }[/math]. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звёздные и линейно связные множества

Множество [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math] называется звёздным относительно точки [math]\displaystyle{ z_0\in G }[/math], если для произвольной точки [math]\displaystyle{ z\in G }[/math] выполняется включение [math]\displaystyle{ \overline{z_0z}\subset G }[/math].

Множество [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C }[/math] называется выпуклым, если оно звёздно относительно любой своей точки. Множество [math]\displaystyle{ G^* }[/math] называется выпуклой оболочкой множества [math]\displaystyle{ G }[/math], если оно выпукло, [math]\displaystyle{ G\subset G^* }[/math] и для любого выпуклого множества [math]\displaystyle{ G^{**} }[/math], содержащего множество [math]\displaystyle{ G }[/math] выполняется включение [math]\displaystyle{ G^*\subset G^{**} }[/math].

Ломаной [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество [math]\displaystyle{ G }[/math] называется линейно связным, если для двух произвольных точек [math]\displaystyle{ z_1,z_2\in G }[/math] существует ломаная [math]\displaystyle{ \Gamma\subset G }[/math] такая, что выполняется [math]\displaystyle{ z_1,z_2\in\Gamma }[/math].

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звёздные множества.

Кривые на [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math] называется отображение вида [math]\displaystyle{ \varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C }[/math]. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math], но и её направление. Для примера, функции [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \eta(t)=\varphi(1-t) }[/math] будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые [math]\displaystyle{ \varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C }[/math] называются гомотопными, если существует кривая [math]\displaystyle{ \xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C }[/math], зависящая от параметра [math]\displaystyle{ q }[/math] таким образом, что [math]\displaystyle{ \xi(t,0)\equiv\varphi_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \xi(t,1)\equiv\varphi_1 }[/math].

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например:

• Три (различные) точки [math]\displaystyle{ z_1,z_2,z_3 }[/math] лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

[math]\displaystyle{ \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} }[/math] является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки [math]\displaystyle{ z_1,z_2,z_3,z_4 }[/math] лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение [math]\displaystyle{ \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4} }[/math] является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: [math]\displaystyle{ z_1, z_2, z_3, }[/math] то четвёртая определяется равенством: [math]\displaystyle{ z_4 = z_1 - z_2 + z_3. }[/math]

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид:

[math]\displaystyle{ z = ut + v, }[/math] где [math]\displaystyle{ u,v }[/math] — комплексные числа, [math]\displaystyle{ u \ne 0, t }[/math] — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми [math]\displaystyle{ z = ut + v }[/math] и [math]\displaystyle{ z = u't + v' }[/math] равен [math]\displaystyle{ \operatorname{arg}(u'/u). }[/math] В частности, прямые перпендикулярны, когда [math]\displaystyle{ u'/u }[/math] — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ u' / u }[/math] есть вещественное число; если при этом [math]\displaystyle{ (v'-v)/u }[/math] также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая [math]\displaystyle{ z = ut + v }[/math] рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение [math]\displaystyle{ t=\operatorname{Im}\frac{z-v}{u} }[/math] положительно, на другой — отрицательно.

Уравнение окружности с центром [math]\displaystyle{ c }[/math] и радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math] имеет чрезвычайно простой вид: [math]\displaystyle{ |z-c| = r. }[/math] Неравенство [math]\displaystyle{ |z-c| \lt r }[/math] описывает внутренность окружности. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности: [math]\displaystyle{ z=c+e^{i\varphi}. }[/math]

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой [math]\displaystyle{ (z=\infty) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\} }[/math]

Геометрически точка [math]\displaystyle{ \infty }[/math] изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• [math]\displaystyle{ \frac{z}{\infty}=0; \ \ z+\infty=\infty \ (z \ne \infty) }[/math]
• [math]\displaystyle{ z \cdot \infty=\infty; \ \ \frac{z}{0}=\infty \ (z \ne 0) }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек [math]\displaystyle{ z }[/math], модуль которых больше, чем [math]\displaystyle{ 1 \over \varepsilon }[/math], то есть внешняя часть [math]\displaystyle{ 1 \over \varepsilon }[/math]-окрестностей начала координат.

Расширенная комплексная плоскость называется также сферой Римана, так как она изоморфна обычной сфере [math]\displaystyle{ S^2 }[/math] (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.^{[уточнить]}

Литература

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: учебник для студентов механико-математических специальностей университетов, СПб.: 2004.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.