Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	[math]\displaystyle{ \operatorname{sin}^2 \alpha + \operatorname{cos}^2 \alpha = 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \forall \alpha }[/math] (то есть любое значение α)
1.2	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha }[/math]	[math]\displaystyle{ \alpha\neq\frac\pi2+\pi n }[/math] при [math]\displaystyle{ n\in\Z }[/math]
1.3	[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha }[/math]	[math]\displaystyle{ \alpha\neq\pi n,\quad n\in\Z }[/math]
1.4	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \alpha\neq\frac{\pi n}2,\quad n\in\Z }[/math]

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на [math]\displaystyle{ \cos^2 \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \sin^2 \alpha }[/math] соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

Иллюстрация форм сложения тангенсов.

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	[math]\displaystyle{ \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }[/math]
2.2	[math]\displaystyle{ \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }[/math]
2.3	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta} }[/math]
2.4	[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha} }[/math]

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Вывод формул для [math]\displaystyle{ \sin ( \alpha + \beta) ,\ \cos ( \alpha + \beta) }[/math]

Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что [math]\displaystyle{ AB = 1, \angle DAC =\alpha, \angle DAB = \beta ; }[/math]

По построению: [math]\displaystyle{ \angle ABC = 90 - \alpha - \beta; \angle ABD = 90 - \beta; }[/math]

Тогда: [math]\displaystyle{ \angle OBD = \angle ABD - \angle ABO = \alpha; }[/math]

Из треугольника ABD:

[math]\displaystyle{ BD = \sin \beta; AD = \cos \beta; }[/math]

Из треугольника BOD:

[math]\displaystyle{ OB = \frac {BD} {\cos \alpha} = \frac {\sin \beta} {\cos \alpha}; }[/math]

[math]\displaystyle{ OD = OB \cdot \sin \alpha = \frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta} {\cos \alpha} }[/math]

Так как O лежит на отрезке AD:

[math]\displaystyle{ AO = AD - OD = \cos \beta - \frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta} {\cos \alpha} = \frac { \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta} {\cos \alpha} }[/math]

Тогда сразу:

[math]\displaystyle{ \cos (\alpha + \beta) = AC = AO \cdot \cos \alpha = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta }[/math]

Из треугольника AOC:

[math]\displaystyle{ OC = AO \cdot \sin \alpha = \frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta)} {\cos \alpha} }[/math]

Следовательно:

[math]\displaystyle{ \sin (\alpha + \beta) = BC = OB + OC = \frac {\sin \beta} {\cos \alpha} + \frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta)} {\cos \alpha} = }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \beta + \frac {\sin \beta \cdot(1 - \sin^2 \alpha)} {\cos \alpha } = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta }[/math]

Что и требовалось доказать.

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять α:

№	Формулы двойного угла
3.1	[math]\displaystyle{ \operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}\ {\cos \alpha} = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1+\operatorname{tg}^2 \alpha} }[/math]
3.2	[math]\displaystyle{ \operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha} }[/math] [math]\displaystyle{ \operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha} }[/math]
3.3	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }[/math]
3.4	[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} }[/math]

Примечания

для формулы [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 2 \alpha }[/math]:

• [math]\displaystyle{ \alpha \not=\frac{\pi}4 + \frac{\pi}2 n, n \in \mathbb Z, }[/math]
• [math]\displaystyle{ \alpha \not=\frac{\pi}2 + \pi n, n\in \mathbb Z, }[/math]

для формулы [math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} 2 \alpha }[/math]: [math]\displaystyle{ \alpha \not=\frac{\pi}2 + \pi n, n \in \mathbb Z. }[/math]

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:

№	Формулы половинного угла
3.5	[math]\displaystyle{ \sin{\alpha\over 2}=\pm\sqrt{1-\cos\alpha \over 2} }[/math]
3.6	[math]\displaystyle{ \cos{\alpha \over 2}=\pm\sqrt{1+\cos\alpha\over 2} }[/math]
3.7	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}{\alpha \over 2}=\pm\sqrt{1-\cos\alpha \over 1+\cos\alpha}={\sin\alpha \over 1+\cos\alpha}={1-\cos\alpha \over \sin\alpha} }[/math]

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять 2α:

№	Формулы тройного угла
4.1	[math]\displaystyle{ \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha }[/math]
4.2	[math]\displaystyle{ \cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha }[/math]
4.3	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha} }[/math]
4.4	[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha} }[/math]

Примечания

для формулы [math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 3\alpha }[/math]: [math]\displaystyle{ \alpha \not=\frac{\pi}6 + \frac{\pi}3 n, n \in \mathbb Z }[/math]
для формулы [math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} 3\alpha }[/math]: [math]\displaystyle{ \alpha \not=\frac{\pi}3 n + \pi n, n \in \mathbb Z }[/math];

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус		№	Косинус
5.1	[math]\displaystyle{ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} }[/math]		5.5	[math]\displaystyle{ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} }[/math]
5.2	[math]\displaystyle{ \sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4} }[/math]		5.6	[math]\displaystyle{ \cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4} }[/math]
5.3	[math]\displaystyle{ \sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} }[/math]		5.7	[math]\displaystyle{ \cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} }[/math]
5.4	[math]\displaystyle{ \sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16} }[/math]		5.8	[math]\displaystyle{ \cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16} }[/math]

№	Произведение
5.9	[math]\displaystyle{ \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8} }[/math]
5.10	[math]\displaystyle{ \sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32} }[/math]
5.11	[math]\displaystyle{ \sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128} }[/math]
5.12	[math]\displaystyle{ \sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512} }[/math]

Формулы преобразования произведения функций

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	[math]\displaystyle{ \sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2} }[/math]
6.2	[math]\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) + \sin ( \alpha + \beta) }{2} }[/math]
6.3	[math]\displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)}{2} }[/math]

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). Например, из формулы (2.1) следует:

[math]\displaystyle{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2 \sin \alpha \cos \beta }[/math].

То есть:

[math]\displaystyle{ \sin \alpha \cos \beta = \frac{\sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2} }[/math]    — формула (6.2).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

№	Формулы преобразования суммы функций
7.1	[math]\displaystyle{ \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2} }[/math]
7.2	[math]\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2} }[/math]
7.3	[math]\displaystyle{ \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} }[/math]
7.4	[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta} }[/math]
7.5	[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta} }[/math]

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

[math]\displaystyle{ \alpha = \frac{ \alpha' + \beta'}{2} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \beta = \frac{ \alpha' - \beta'}{2} }[/math].

Подставим эти выражения в формулу (6.1):

[math]\displaystyle{ \sin \frac{ \alpha' + \beta'}{2} \sin \frac{ \alpha' - \beta'}{2} = \frac{ \cos \beta' - \cos \alpha'}{2} }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ \cos \alpha' - \cos \beta' = - 2 \sin \frac{ \alpha' + \beta'}{2} \sin \frac{ \alpha' - \beta'}{2} }[/math]    — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (2.3) следует:

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \operatorname{tg}( \alpha + \beta)(1 - \operatorname{tg} ( \alpha) \operatorname{tg}( \beta)) = }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot \frac{\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\cos(\alpha+\beta)} {\cos\alpha \cos\beta} }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta} \qquad \qquad }[/math]   — формула (7.4).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при [math]\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=360^\circ\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\sin\frac\alpha2\sin\frac\beta2\sin\frac\gamma2 }[/math] (7.6).

Решение простых тригонометрических уравнений

• [math]\displaystyle{ \sin x = a. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ |a|\gt 1 }[/math] — вещественных решений нет.

Если [math]\displaystyle{ |a| \leqslant 1 }[/math] — решением является число вида [math]\displaystyle{ x=(-1)^n\arcsin a+\pi n, }[/math] где [math]\displaystyle{ n\in\Z. }[/math]

• [math]\displaystyle{ \cos x = a. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ |a|\gt 1 }[/math] — вещественных решений нет.

Если [math]\displaystyle{ |a| \leqslant 1 }[/math] — решением является число вида [math]\displaystyle{ x=\pm\arccos a+2\pi n,~n\in\Z. }[/math]

• [math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\, x = a. }[/math]

Решением является число вида [math]\displaystyle{ x=\text{arctg}~a+\pi n,~n\in\Z. }[/math]

• [math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\, x = a. }[/math]

Решением является число вида [math]\displaystyle{ x=\text{arcctg}~a+\pi n,~n\in\Z. }[/math]

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при [math]\displaystyle{ \alpha\ne\pi+2\pi n }[/math]).

[math]\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\, \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} }[/math]	[math]\displaystyle{ \csc\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} }[/math]

Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса ([math]\displaystyle{ \alpha\ne2\pi n }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sin\alpha =\frac{2~\text{ctg}~\frac\alpha2} {1+\text{ctg}^2\frac\alpha2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1}{\text{ctg}^2\frac\alpha2+1} }[/math]
[math]\displaystyle{ \text{tg}~\alpha=\frac{2~\text{ctg}~\frac\alpha2}{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1} }[/math]	[math]\displaystyle{ \text{ctg}~\alpha=\frac{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1}{2~\text{ctg}~\frac\alpha2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sec\alpha=\frac{\text{ctg}^2\frac\alpha2+1}{\text{ctg}^2\frac\alpha2-1} }[/math]	[math]\displaystyle{ \csc\alpha =\frac{1+\text{ctg}^2\frac\alpha2}{2~\text{ctg}~\frac\alpha2} }[/math]

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

[math]\displaystyle{ a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi), }[/math]

где [math]\displaystyle{ a,b\in\R, }[/math] [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] не равны нулю одновременно, [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

[math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} \sin \varphi= \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \\ \cos \varphi= \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} .\end{matrix} \right. }[/math]

Примечание. Из вышеприведённой системы при [math]\displaystyle{ a\ne0 }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ \mathrm{tg}\,\varphi\,=\,\tfrac ba }[/math], однако нельзя всегда считать, что [math]\displaystyle{ \varphi=\text{arctg}~\tfrac ba }[/math] (подробнее здесь). Нужно учитывать знаки [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b, }[/math] чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол [math]\displaystyle{ \varphi. }[/math]

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа [math]\displaystyle{ x }[/math] выполнено следующее равенство:

[math]\displaystyle{ e^{ix}=\cos x+i\sin x, }[/math]

где [math]\displaystyle{ e }[/math] — основание натурального логарифма,

[math]\displaystyle{ i }[/math] — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции [math]\displaystyle{ \sin x }[/math] и [math]\displaystyle{ \cos x }[/math] следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}, \qquad \qquad \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}. }[/math]

Отсюда следует, что

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\, x = -i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}, \qquad \qquad \operatorname{ctg}\, x = i\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sec x = \frac{2}{e^{ix}+e^{-ix}}, \qquad \qquad \operatorname{cosec}\, x=\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}. }[/math]

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Комплексные числа
• Многочлены Чебышёва
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические функции от матрицы
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции