Полюс (комплексный анализ)

Изолированная особая точка [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] называется полюсом функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел

[math]\displaystyle{ \lim_{z \to {z_0}}f(z) = \infty }[/math].

Критерии полюса

Точка [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math] является полюсом тогда, и только тогда, когда в разложении функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] в ряд Лорана в проколотой окрестности точки [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] главная часть содержит конечное число отличных от нуля членов, то есть

[math]\displaystyle{ f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} {f_k}(z-z_0)^k = P(z)+f_{-n}(z-z_0)^{-n}+ \ldots + f_{-1}(z-z_0)^{-1} }[/math],

где [math]\displaystyle{ P(z) }[/math] — правильная часть ряда Лорана. Если [math]\displaystyle{ f_{-n} \ne \ 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] называется полюсом порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ n=1 }[/math], то полюс называется простым.

Точка [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math] является полюсом порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^{k-1} = \infty }[/math], а [math]\displaystyle{ \lim_{z \to {z_0}}f(z)(z-z_0)^k \ne \infty }[/math]
Точка [math]\displaystyle{ z_{0} }[/math] является полюсом порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] тогда и только тогда, когда она является для функции [math]\displaystyle{ F(z)=\frac{1}{f(z)} }[/math] нулем порядка [math]\displaystyle{ k }[/math].

См. также

Другие типы изолированных особых точек:
- Устранимая особая точка
- Существенно особая точка

Литература

Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.