Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком [math]\displaystyle{ [a,+\infty) }[/math].
• Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Несобственный интеграл первого рода

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена и непрерывна на интервале [math]\displaystyle{ [a,+\infty) }[/math] и [math]\displaystyle{ \forall A \gt a \ \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx }[/math]. Тогда:

1. Если [math]\displaystyle{ \exists \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx = I\in\mathbb{R} }[/math], то используется обозначение [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx }[/math] и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx }[/math] называется сходящимся.
2. Если не существует конечного [math]\displaystyle{ \lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A} f(x)dx }[/math] ([math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math] или [math]\displaystyle{ \nexists }[/math]), то интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx }[/math] называется расходящимся к «[math]\displaystyle{ \infty }[/math]», «[math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]», или просто расходящимся.

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена и непрерывна на множестве от [math]\displaystyle{ (-\infty, b] }[/math] и [math]\displaystyle{ \forall B \lt b \Rightarrow \exists \int\limits_{B}^{b} f(x)dx }[/math]. Тогда:

1. Если [math]\displaystyle{ \exists \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx = I\in\mathbb{R} }[/math], то используется обозначение [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx }[/math] и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx }[/math] называется сходящимся.
2. Если не существует конечного [math]\displaystyle{ \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b} f(x)dx }[/math] ([math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math] или [math]\displaystyle{ \nexists }[/math]), то интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{b} f(x)dx }[/math] называется расходящимся к «[math]\displaystyle{ \infty }[/math]», «[math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]», или просто расходящимся.

Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{+\infty} f(x)dx }[/math], где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{-1} {1 \over x^2} dx = \lim_{a \to -\infty} \int\limits_{a}^{-1} {1 \over x^2}dx = \lim_{a \to -\infty} \Bigl. -\frac {1} {x} \Bigr|_a^{-1} = 1 + \lim_{a \to -\infty} \frac {1} {a} = 1 + 0 = 1 }[/math]

Несобственные интегралы II рода

Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена на [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math], терпит бесконечный разрыв в точке x = a и [math]\displaystyle{ \forall \delta \gt 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta) }[/math]. Тогда:

1. Если [math]\displaystyle{ \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R} }[/math], то используется обозначение [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx }[/math] и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если [math]\displaystyle{ \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty }[/math] или [math]\displaystyle{ \nexists) }[/math], то обозначение сохраняется, а [math]\displaystyle{ \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx }[/math] называется расходящимся к «[math]\displaystyle{ \infty }[/math]», «[math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]», или просто расходящимся.

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена на [math]\displaystyle{ [a,b) }[/math] , терпит бесконечный разрыв при x = b и [math]\displaystyle{ \forall \delta \gt 0 \Rightarrow \exists \int\limits_{a}^{b-\delta} f(x)dx = \mathcal{I}(\delta) }[/math]. Тогда:

1. Если [math]\displaystyle{ \exists \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = I\in\mathbb{R} }[/math], то используется обозначение [math]\displaystyle{ I=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx }[/math] и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если [math]\displaystyle{ \lim_{\delta \to 0+0} \mathcal{I}(\delta) = \infty \; (\pm\infty }[/math] или [math]\displaystyle{ \nexists) }[/math], то обозначение сохраняется, а [math]\displaystyle{ \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx }[/math] называется расходящимся к «[math]\displaystyle{ \infty }[/math]», «[math]\displaystyle{ \pm \infty }[/math]», или просто расходящимся.

Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] терпит разрыв во внутренней точке [math]\displaystyle{ c }[/math] отрезка [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx. }[/math]

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

[math]\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} {dx \over x} = \lim_{\delta \to 0+0} \Bigl. \ln |x| \Bigr|_{0+\delta }^1 = 0 - \lim_{\delta \to 0+0} \ln \delta = + \infty }[/math]

Отдельный случай

Пусть функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots ,x_k }[/math].

Тогда можно найти несобственный интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty }^{+\infty} f(x)dx = \int\limits_{-\infty }^{x_1} f(x)dx + \sum_{j=1}^{k-1} {\int\limits_{x_j}^{x_{j+1}} f(x)dx}+ \int\limits_{x_k}^{+\infty} f(x)dx }[/math]

Критерий Коши

1. Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена на множестве от [math]\displaystyle{ [a,+\infty) }[/math] и [math]\displaystyle{ \forall A\gt a \ \exists \int\limits_{a}^{A} f(x)dx }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx }[/math] сходится [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \ \exists A(\varepsilon) \gt a : \forall (A_2 \gt A_1 \gt A) \Rightarrow \left|\,\int\limits_{A_1}^{A_2} f(x)dx\right| \lt \varepsilon }[/math]

2. Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена на [math]\displaystyle{ (a,b] }[/math] и [math]\displaystyle{ \forall \delta \gt 0 \ \exists \int\limits_{a + \delta}^{b} f(x)dx }[/math].

Тогда [math]\displaystyle{ \mathcal{I}=\int\limits_{a}^{b} f(x)dx }[/math] сходится [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \forall \varepsilon \gt 0 \Rightarrow \exists \delta(\varepsilon) \gt 0 : \forall (0 \lt \delta_1 \lt \delta_2 \lt \delta) \Rightarrow \left|\,\int\limits_{a+\delta_1}^{a+\delta_2} f(x)dx\right| \lt \varepsilon }[/math]

Абсолютная сходимость

Интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} f(x)dx\right) }[/math] называется абсолютно сходящимся, если [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ \left(\int\limits_{a}^{b} |f(x)|dx\right) }[/math]сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ }[/math] называется условно сходящимся, если [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x)dx \ \ }[/math] сходится, а [math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{+\infty} |f(x)|dx \ \ }[/math] расходится.

См. также

• Интеграл Римана
• Интеграл Лебега
• Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.

Литература

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.