Дробно-линейное преобразование

Эта статья о дробно-линейной функции комплексного переменного; об общей дробно-линейной функции см. Дробно-линейная функция.

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние или дро́бно-лине́йное отображе́ние — это отображение комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциями.

Формальное определение

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства на себя

[math]\displaystyle{ \C^n \to \C^n : z \to w, }[/math] [math]\displaystyle{ z = (z_1, z_2, \dots, z_n), }[/math]

[math]\displaystyle{ w = (w_1, w_2, \dots, w_n) = (L_1(z), L_2(z), \dots, L_n(z)), }[/math]

осуществляемое дробно-линейными функциями

[math]\displaystyle{ L_k(z) = \frac{a_{1k} z_1 + a_{2k} z_2 + \cdots + a_{nk} z_n + b_k}{c_{1k} z_1 + c_{2k} z_2 + \cdots + c_{nk} z_n + d_k}, }[/math] [math]\displaystyle{ k = 1, 2, \dots, n, }[/math]

где [math]\displaystyle{ z_1, z_2, \dots, z_n }[/math] — комплексные переменные, [math]\displaystyle{ a_{1k}, a_{2k}, \dots, a_{nk}, }[/math] [math]\displaystyle{ c_{1k}, c_{2k}, \dots, c_{nk}, }[/math] [math]\displaystyle{ b_k, d_k }[/math] — комплексные коэффициенты,

[math]\displaystyle{ |c_{1k}| + |c_{2k}| + \dots + |c_{nk}| + |d_k| \gt 0 }[/math].

В случае комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \C^1 =\C }[/math] получаем отличное от константы отображение вида

[math]\displaystyle{ \C \to \C : z \to w = L(z) = \frac{az + b}{cz + d}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ ad - bc \ne 0 }[/math].

Литература

• Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил.