Перейти к содержанию

Корень многочлена

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Из графика многочлена [math]\displaystyle{ x^3-6x^2+11x-6 }[/math] видно, что у него три корня: 1, 2 и 3.

Корень многочлена (не равного тождественно нулю)

[math]\displaystyle{ a_0+a_1x+\dots+a_nx^n }[/math]

над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] — это элемент [math]\displaystyle{ c\in K }[/math] (либо элемент расширения поля [math]\displaystyle{ K }[/math]) такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

  • данный многочлен делится на многочлен [math]\displaystyle{ x-c }[/math];
  • подстановка элемента [math]\displaystyle{ c }[/math] вместо [math]\displaystyle{ x }[/math] обращает уравнение
[math]\displaystyle{ a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0 }[/math]

в тождество, то есть значение многочлена становится равным нулю.

Равносильность двух формулировок следует из теоремы Безу. В различных источниках любая одна из двух формулировок выбирается в качестве определения, а другая выводится в качестве теоремы.

Говорят, что корень [math]\displaystyle{ c }[/math] имеет кратность [math]\displaystyle{ m }[/math], если рассматриваемый многочлен делится на [math]\displaystyle{ (x-c)^m }[/math] и не делится на [math]\displaystyle{ (x-c)^{m+1}. }[/math] Например, многочлен [math]\displaystyle{ x^2-2x+1 }[/math] имеет единственный корень, равный [math]\displaystyle{ 1 }[/math] кратности [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Выражение «кратный корень» означает, что кратность корня больше единицы.

Говорят, что многочлен имеет [math]\displaystyle{ n }[/math] корней без учёта кратности, если каждый его корень учитывается при подсчёте один раз. Если же каждый корень учитывается количество раз, равное его кратности, то говорят, что подсчёт ведётся с учётом кратности.

Свойства

  • Количество корней многочлена с учётом кратности не меньше, чем без учёта кратности.
  • Число корней многочлена степени [math]\displaystyle{ n }[/math] не превышает [math]\displaystyle{ n }[/math] даже в том случае, если кратные корни считать с учётом кратности.
  • Всякий многочлен [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень (основная теорема алгебры).
    • Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля на месте поля комплексных чисел (по определению).
    • Более того, многочлен с вещественными коэффициентами [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] можно записать в виде
[math]\displaystyle{ p(x) = a(x-c_1)(x-c_2)\ldots(x-c_n), }[/math]
где [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\ldots,c_n }[/math] — (в общем случае комплексные) корни многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math], возможно с повторениями, при этом если среди корней [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\ldots,c_n }[/math] многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] встречаются равные, то их общее значение называется кратным корнем, а количество — кратностью этого корня.
  • Число комплексных корней многочлена с комплексными коэффициентами степени [math]\displaystyle{ n }[/math] с учётом кратности равно [math]\displaystyle{ n }[/math]. При этом все чисто комплексные корни (если они есть) многочлена с вещественными коэффициентами можно разбить на пары сопряжённых одинаковой кратности. Таким образом, многочлен четной степени с вещественными коэффициентами может иметь с учётом кратности только чётное число вещественных корней, а нечётной — только нечётное.
  • Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.

Нахождение корней

Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов в общем виде, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время, пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано. Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.

То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов (то есть то, что сами уравнения не являются разрешимыми в радикалах), было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 году[1]. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, при некоторых особых комбинациях коэффициентов корни уравнения всё же могут быть определены (см., например, возвратное уравнение). Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., например, корень Бринга).

В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней. Также в этом случае можно использовать полиномиальный LLL -алгоритм.

Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона, Метод Лобачевского — Греффе. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть определено при помощи теоремы Штурма.

См. также

Примечания

  1. Теорема Абеля в задачах и решениях — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с.. Дата обращения: 9 ноября 2011. Архивировано 22 января 2021 года.

Литература

  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
  • Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.