Разностное уравнение

Ра́зностное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в любой точке с её значением в одной или нескольких точках, отстоящих от данной на определенный интервал. Применяется для описания дискретных систем.

Примеры

• Наиболее известный пример — это рекуррентное уравнение Гамма-функции

  [math]\displaystyle{ \Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z). }[/math]

Следует помнить, что Гамма-функция не единственное решение этого разностного уравнения. Например, функция [math]\displaystyle{ \sin{(2 \pi z})\cdot\Gamma(z) }[/math] также удовлетворяет этому уравнению.

• Пример линейного разностного уравнения может быть записан в форме:

[math]\displaystyle{ s(n) = c_1 s(n-1) + c_2 s(n-2) + \dots + c_d s(n-d), }[/math]

где [math]\displaystyle{ d }[/math] коэффициентов [math]\displaystyle{ c_1, c_2, \dots, c_d }[/math] являются константами.

Свойства

• Разностное уравнение можно представить как дифференциальное уравнение бесконечного порядка, в силу тождества

  [math]\displaystyle{ F(z+a) = \exp\left(a\,\frac{d}{d z}\right) F(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n\,F^{(n)}}{n!} = F(z) + a\,F'(z) +\frac{a^2\, F''(z)}{2}\dots. }[/math]

См. также

• Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения.

Литература

• Групповые свойства разностных уравнений / В. А. Дородницын. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 236 с. : ил.; 22 см; ISBN 5-9221-0171-4