Комплексный логарифм

Наглядное представление функции натурального комплексного логарифма (главная ветвь). Аргумент значения функции обозначается цветом, а модуль — яркостью.

Комплексный логарифм — аналитическая функция, получаемая распространением вещественного логарифма на всю комплексную плоскость (кроме нуля). Существует несколько эквивалентных способов такого распространения. Данная функция имеет широкое применение в комплексном анализе. В отличие от вещественного случая, функция комплексного логарифма многозначна.

Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм можно определить так же, как для вещественных, то есть как обращение показательной функции. На практике используется практически только натуральный комплексный логарифм, основание которого — число Эйлера [math]\displaystyle{ e }[/math]: он обозначается обычно [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\, z }[/math].

Натуральный логарифм комплексного числа [math]\displaystyle{ z }[/math] определяется как решение [math]\displaystyle{ w }[/math] уравнения [math]\displaystyle{ e^w=z. }[/math]

Другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже.

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, [math]\displaystyle{ e^{\pi i}=-1 }[/math]; однако также [math]\displaystyle{ e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i} \dots =-1 }[/math]. Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом [math]\displaystyle{ 2 \pi }[/math]), и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция [math]\displaystyle{ w=\mathrm{Ln}\,z }[/math] является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое [math]\displaystyle{ z }[/math] можно представить в показательной форме:

[math]\displaystyle{ z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;, }[/math] где [math]\displaystyle{ k }[/math] — произвольное целое число

Тогда [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\,z }[/math] находится по формуле:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left( \varphi + 2 \pi k \right) }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \ln\,r= \ln\,|z| }[/math] — вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Комплексный логарифм [math]\displaystyle{ \mathrm{Ln}\, z }[/math] существует для любого [math]\displaystyle{ z \ne 0 }[/math], и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая часть имеет бесконечное множество значений, различающихся на целое кратное [math]\displaystyle{ 2\pi. }[/math]

Вещественная часть комплексного логарифма

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале [math]\displaystyle{ (-\pi, \pi] }[/math]. Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается [math]\displaystyle{ \ln\,z }[/math]. Иногда через [math]\displaystyle{ \ln\, z }[/math] также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если [math]\displaystyle{ z }[/math] — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2) }[/math]

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к [math]\displaystyle{ -\infty. }[/math]

Логарифм отрицательного числа находится по формуле:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x\gt 0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots) }[/math]

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма ([math]\displaystyle{ \ln }[/math]) и общее его выражение ([math]\displaystyle{ \mathrm{Ln} }[/math]) для некоторых аргументов:

[math]\displaystyle{ \ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi }[/math]

[math]\displaystyle{ \ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = \frac{1}{2} i\pi(4k+1) }[/math]

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

[math]\displaystyle{ i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi }[/math] — явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ([math]\displaystyle{ k=-1 }[/math]). Причина ошибки — неосторожное использование свойства [math]\displaystyle{ \log_a{(b^p)} = p~\log_a b }[/math], которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

Риманова поверхность для комплексного логарифма

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при [math]\displaystyle{ z=1 }[/math]. Особые точки: [math]\displaystyle{ z=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ z=\infty }[/math] (точки разветвления бесконечного порядка).

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки [math]\displaystyle{ 0 }[/math].

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] начинается в единице, заканчивается в z, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке [math]\displaystyle{ w }[/math] кривой [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] можно определить по формуле:

[math]\displaystyle{ \ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u} }[/math]

Если [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

[math]\displaystyle{ \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma }[/math]

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом [math]\displaystyle{ (-\pi, \pi] }[/math]. Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dz} \ln z = {1\over z} }[/math]

Для любой окружности [math]\displaystyle{ S }[/math], охватывающей точку [math]\displaystyle{ 0 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i }[/math]

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью версий ряда Меркатора, известных для вещественного случая:

[math]\displaystyle{ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots }[/math]

(Ряд 1)

[math]\displaystyle{ \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\dots\right) }[/math]

(Ряд 2)

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями :

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i) }[/math]

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом :

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}) }[/math] — обратный гиперболический синус

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left( z+\sqrt{z^{2}-1} \right) }[/math] — обратный гиперболический косинус

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) }[/math] — обратный гиперболический тангенс

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) }[/math] — обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Основная статья: История логарифмов

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить [math]\displaystyle{ \log(-x) = \log(x) }[/math], в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции, определяемой как интеграл от [math]\displaystyle{ \frac{1}{z} }[/math]. Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм.

Литература

Теория логарифмов

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

История логарифмов

• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.