Алгебраически замкнутое поле

Алгебраически замкнутое поле — поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math], в котором всякий многочлен ненулевой степени над [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] имеет хотя бы один корень.

Для любого поля существует единственное с точностью до изоморфизма его алгебраическое замыкание, то есть его алгебраическое расширение, являющееся алгебраически замкнутым.

Свойства

В алгебраически замкнутом поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] каждый многочлен степени n имеет ровно n (с учётом кратности) корней в [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]. Иначе говоря, каждый неприводимый многочлен из кольца многочленов [math]\displaystyle{ \mathbb K[x] }[/math] имеет степень 1. См. также теорема Безу.
Конечные поля не могут быть алгебраически замкнутыми. Действительно, можно рассмотреть многочлен конечной степени, корнями которого являются все элементы поля. Если к нему прибавить 1, то полученный многочлен не будет иметь корней.
Алгебраическим замыканием поля вещественных чисел является поле комплексных чисел. Его алгебраическая замкнутость устанавливается основной теоремой алгебры.
Алгебраическим замыканием поля рациональных чисел является поле алгебраических чисел.
Поле арифметических чисел алгебраически замкнуто.

Конструкция

Одна из возможных конструкций алгебраического замыкания для произвольного поля была построена Эмилем Артином.

Пусть задано поле [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]. Требуется построить алгебраическое замыкание этого поля.

Определим [math]\displaystyle{ F \subset \mathbb{K}[x] }[/math] как множество всех неприводимых многочленов над полем [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math]. Каждому многочлену поставим в соответствие переменную [math]\displaystyle{ x_f }[/math]. Обозначим за [math]\displaystyle{ X }[/math] множество всех таких переменных [math]\displaystyle{ X=\{x_f|f\in F\} }[/math]. Образуем кольцо многочленов [math]\displaystyle{ \mathbb{K}[X] }[/math]. Можно показать, что идеал [math]\displaystyle{ I }[/math], порождённый всеми многочленами вида [math]\displaystyle{ f(x_f) }[/math], не является единичным. Тогда мы можем перейти к максимальному идеалу [math]\displaystyle{ I' }[/math], содержающему идеал [math]\displaystyle{ I }[/math] (здесь мы пользуемся аксиомой выбора), и получить поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_1}=\mathbb{K}[X]/I' }[/math]. Если отождествить многочлены-константы с элементами основного поля, то получаем [math]\displaystyle{ \mathbb{K} \subset \mathbb{K_1} }[/math].

На поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_1} }[/math] можно смотреть как на поле, полученное присоединением к полю [math]\displaystyle{ \mathbb K }[/math] по одному корню каждого неприводимого многочлена. Чтобы присоединить остальные корни, необходимо повторять эту конструкцию. Повторим её для поля [math]\displaystyle{ \mathbb{K_1} }[/math] и получим поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_2} }[/math]. Повторяя это [math]\displaystyle{ n }[/math] раз можно получить поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_n} }[/math]. Таким образом, мы имеем башню полей:

[math]\displaystyle{ \mathbb{K} \subset \mathbb{K_1} \subset \mathbb{K_2} \subset \ldots \subset \mathbb{K_n} \subset \mathbb{K_{n+1}} \subset \ldots }[/math]

Объединение всех этих полей даст поле [math]\displaystyle{ \mathbb{K_{\infty}}=\bigcup_{n=0}^\infty \mathbb{K_n} }[/math]. Алгебраическая замкнутость этого поля очевидна.^[1]

См. также

Примечания

↑ Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.

[1] Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.

[1]