Эрмитов оператор

В математике оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] в комплексном или действительном гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ \mathfrak H }[/math] называется эрмитовым, симметрическим, если он удовлетворяет равенству [math]\displaystyle{ (Ax,y)=(x,Ay) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ x,y }[/math] из области определения [math]\displaystyle{ A }[/math]. Здесь и далее полагается, что [math]\displaystyle{ (x, y) }[/math] — скалярное произведение в [math]\displaystyle{ \mathfrak H }[/math]. Название дано в честь французского математика Шарля Эрмита.

Оператор в [math]\displaystyle{ \mathfrak H }[/math] называется самосопряжённым, или гипермаксимальным эрмитовым, если он совпадает со своим сопряжённым.

Самосопряжённый оператор является симметрическим; обратное, вообще говоря, не верно. Для непрерывных операторов, определённых на всём пространстве, понятия симметрический и самосопряжённый совпадают.

Свойства

1. Спектр (множество собственных чисел) самосопряжённого оператора является вещественным.

Доказательство

Для всякого собственного значения [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] по определению верно [math]\displaystyle{ A\left( x \right) = \lambda x }[/math]. Следовательно, по определению самосопряжённого преобразования равны следующие выражения:

[math]\displaystyle{ \left( {A\left( x \right),x} \right) = \left( {\lambda x,x} \right) = \lambda \left( {x,x} \right) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \left( {x,A\left( x \right)} \right) = \left( {x,\lambda x} \right) = \overline \lambda \left( {x,x} \right) }[/math],

откуда [math]\displaystyle{ \lambda = \overline \lambda }[/math] — число [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] вещественное.

2. В унитарных конечномерных пространствах матрица самосопряжённого оператора является эрмитовой. (В частности, в евклидовом пространстве матрица самосопряжённого оператора является симметрической.)

Доказательство

В унитарном пространстве скалярное произведение определяется как [math]\displaystyle{ \left( {x,y} \right) = \xi ^T \overline \eta }[/math], где [math]\displaystyle{ \xi }[/math] и [math]\displaystyle{ \eta }[/math] - координатные столбцы векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] соответственно. Отсюда по определению самосопряжённого оператора равны выражения

[math]\displaystyle{ \left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {A\xi } \right)^T \overline \eta = \xi ^T A^T \overline \eta }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \left( {x,A\left( y \right)} \right) = \xi ^T \overline {A\eta } = \xi ^T \overline A \overline \eta }[/math]

Следовательно, [math]\displaystyle{ A^T = \overline A }[/math], что и есть определение эрмитовой матрицы.

3. У эрмитовой матрицы всегда существует ортонормированный базис из собственных векторов — собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство

Лемма 1. Собственные подпространства самосопряжённого преобразования попарно ортогональны.

Доказательство леммы 1: Имеются два различных собственных значения [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu }[/math]. Соответственно для векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] из соответствующих им собственных подпространств выполняется [math]\displaystyle{ A\left( x \right) = \lambda x }[/math] и [math]\displaystyle{ A\left( y \right) = \mu y }[/math]. Отсюда [math]\displaystyle{ \left( {A\left( x \right),y} \right) = \left( {\lambda x,y} \right) = \lambda \left( {x,y} \right) }[/math] равно [math]\displaystyle{ \left( {x,A\left( y \right)} \right) = \left( {x,\mu y} \right) = \overline \mu \left( {x,y} \right) }[/math]. Но собственные значения самосопряжённого преобразования вещественны, можно из последнего выражения вынести [math]\displaystyle{ \left( {x,A\left( y \right)} \right) = \mu \left( {x,y} \right) }[/math]. Таким образом, по определению самосопряжённого преобразования можно получить [math]\displaystyle{ \left( {\lambda - \mu } \right)\left( {x,y} \right) = 0 }[/math], откуда при различности собственных значений [math]\displaystyle{ \lambda \ne \mu }[/math] ясно, что [math]\displaystyle{ \left( {x,y} \right) = 0 }[/math], что и требовалось доказать.

Лемма 2. Если подпространство [math]\displaystyle{ E' }[/math] инвариантно относительно самосопряжённого преобразования [math]\displaystyle{ A }[/math], то ортогональное дополнение этого подпространства также инвариантно относительно [math]\displaystyle{ A }[/math].

Доказательство леммы 2: Известно, что образ любого вектора [math]\displaystyle{ x }[/math], принадлежащего подпространству [math]\displaystyle{ E' }[/math], лежит в нём. Следовательно, для любого вектора [math]\displaystyle{ y \in \left( {E'} \right)^ \bot }[/math] выполняется [math]\displaystyle{ \left( {A\left( x \right),y} \right) = 0 }[/math]. Так как преобразование [math]\displaystyle{ A }[/math] самосопряжённое, то отсюда следует, что [math]\displaystyle{ \left( {x,A\left( y \right)} \right) = 0 }[/math], то есть образ любого вектора [math]\displaystyle{ y }[/math] из [math]\displaystyle{ \left( {E'} \right)^ \bot }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ \left( {E'} \right)^ \bot }[/math], что и означает, что подпространство [math]\displaystyle{ \left( {E'} \right)^ \bot }[/math] инвариантно относительно преобразования A, что и требовалось доказать.

Доказательство свойства 3:

Для оператора R в n-мерном пространстве существует по крайней мере одно собственное значение[math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math]. По свойству 1 это собственное значение вещественно. Можно найти отвечающий ему собственный вектор е₁. Без ограничения общности можно считать, что [math]\displaystyle{ |e_1| = 1 }[/math]. Если n=1, то доказательство завершено.

Рассмотрим Е₁ - линейную оболочку элемента е₁, являющуюся одномерным инвариантным собственным подпространством R. Пусть Е^n-1 - ортогональное дополнение к Е₁ . Тогда по лемме 2 Е^n-1 инвариантно относительно рассматриваемого оператора. Рассмотрим его теперь как R', как действующий только в Е^n-1 . Тогда очевидно, что он будет самосопряженным оператором, заданным в Е^n-1 , поскольку Е^n-1 инвариантно относительно R по лемме 2 и, кроме того, для [math]\displaystyle{ \forall }[/math]х,у [math]\displaystyle{ \in }[/math] Еⁿ : (Rx,y) = (x,Ry), в том числе и для [math]\displaystyle{ \forall }[/math]х,у [math]\displaystyle{ \in }[/math] Е^n-1.

Применяя изложенные выше рассуждения, найдем новое собственное значение [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math] и соответствующий ему собственный вектор [math]\displaystyle{ e_2 }[/math] . Без ограничения общности можно считать, что [math]\displaystyle{ |e_2| = 1 }[/math]. При этом [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math] может случайно совпасть с [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] , однако, из построения ясно, что [math]\displaystyle{ (e_1, e_2) = 0 }[/math]. Если п=2, то доказательство завершено. Иначе рассмотрим Е - линейную оболочку [math]\displaystyle{ {(e_1, e_2)} }[/math] и её ортогональное дополнение Е^n-2. Найдём новое собственное значение [math]\displaystyle{ \lambda_3 }[/math] и соответствующий ему собственный вектор [math]\displaystyle{ e_3 }[/math] и т.д.

Аналогичные рассуждения проводим до исчерпания Еⁿ .

Доказательство завершено.

4. Для эрмитова оператора А определитель det ||A|| его матрицы равен произведению собственных значений.

Матрицы

Матрицей, эрмитово сопряжённой к данной, называют матрицу [math]\displaystyle{ A^\dagger, }[/math] получаемую из исходной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] путём её транспонирования и перехода к комплексно сопряжённой, то есть [math]\displaystyle{ (A^\dagger)_{ij}=A^*_{ji} }[/math]. Это естественное определение: если записать линейное отображение и эрмитово сопряжённый ему оператор в любом базисе в виде матриц, то их матрицы будут эрмитово сопряжёнными. Матрицу, равную своему эрмитовому сопряжению, называют эрмитовой, или самосопряжённой: для неё [math]\displaystyle{ A^\dagger = A }[/math].

Применение

Эрмитовы операторы играют важную роль в квантовой механике, где с их помощью представляют наблюдаемые физические величины, см. Принцип неопределённости Гейзенберга.

См. также

Сопряжённый оператор