Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году.^[1].

Формулировка

Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октонионов^[2].

Примечание

Здесь нормированной алгеброй называется алгебра, для любых двух элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] которой выполняется тождество [math]\displaystyle{ (ab, ab)=(a, a)(b, b) }[/math], где [math]\displaystyle{ ab }[/math] — произведение в алгебре, [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math] — скалярное произведение.

Доказательство

Доказательство теоремы содержится в книге ^[3].

Примечания

↑ Hurwitz, A. (1898), Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln, Goett. Nachr.: 309–316, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=GDZPPN002498200>
↑ Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.
↑ Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

Литература

Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 143 с.

[1] Hurwitz, A. (1898), Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln, Goett. Nachr.: 309–316, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=GDZPPN002498200>

[_e241ee0535f9ae05-2] Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.

[_9063d4e4c6a9e037-3] Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

[1]

[2]

[3]

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{N} }[/math]) Целые ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{Z} }[/math]) Рациональные ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{Q} }[/math]) Алгебраические ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\overline{\mathbb{Q}} }[/math]) Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{R} }[/math]) Комплексные ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{C} }[/math]) Кватернионы ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{H} }[/math]) Числа Кэли (октавы, октонионы) ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{O} }[/math]) Седенионы ([math]\displaystyle{ \scriptstyle\mathbb{S} }[/math]) Альтернионы Дуальные Гиперкомплексные Супердействительные Гипервещественные Сюрреальные
Инструменты расширения числовых систем	Процедура Кэли — Диксона Теорема Фробениуса Теорема Гурвица
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординалы) p-адические Супернатуральные числа Интервальные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные числа Числовой луч Бикватернион