Гипервещественное число

Гипервещественные числа (гипердействительные числа) — расширение поля вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы [math]\displaystyle{ 1 + 1 + \cdots + 1 }[/math].

Термин «гипервещественное число» (англ. hyper-real number) был предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом в 1948 году. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).

Теория гипервещественных чисел даёт строгий подход к исчислению бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые в этом случае, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть [math]\displaystyle{ dV }[/math] — (бесконечно малый) элемент объёма…».

Формальное определение

Множество гипервещественных чисел [math]\displaystyle{ ^*\mathbb{R} }[/math] представляет собой неархимедово упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], которое содержит числа, бо́́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы [math]\displaystyle{ 1 + 1 + \cdots + 1 }[/math]. Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало́.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] справедливы и для [math]\displaystyle{ ^*\mathbb{R} }[/math]. Например, правило коммутативности сложения [math]\displaystyle{ x + y = y + x }[/math] справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления метод исчерпывания. В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества (упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] из аналитического становится чисто арифметическим:

[math]\displaystyle{ f'(x) = \operatorname{st}\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right) }[/math]

для бесконечно малого [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{st} }[/math] означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел

Поле гипервещественных чисел [math]\displaystyle{ ^*\mathbb{R} }[/math] состоит из трёх частей:

• отрицательные бесконечные числа,
• конечные числа,
• положительные бесконечные числа.

Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде: [math]\displaystyle{ a+\epsilon, }[/math] где [math]\displaystyle{ a }[/math] — вещественное число, а [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (монадой) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких.

Алгебраическая структура

Положим, что [math]\displaystyle{ X }[/math] является тихоновским пространством, которое также называется [math]\displaystyle{ T_{3.5} }[/math]-пространством, а [math]\displaystyle{ C(X) }[/math] — алгебра непрерывных вещественных функций на [math]\displaystyle{ X }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] есть максимальный идеал в [math]\displaystyle{ C(X) }[/math]. Тогда факторкольцо [math]\displaystyle{ A = C(X) / M }[/math], является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество. Если [math]\displaystyle{ F }[/math] строго содержит [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], то [math]\displaystyle{ M }[/math] называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а [math]\displaystyle{ F }[/math] — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля [math]\displaystyle{ F }[/math] больше, чем у поля [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] является дискретным пространством, в этом случае [math]\displaystyle{ X }[/math] можно отождествить с мощностью множества [math]\displaystyle{ \kappa }[/math], и [math]\displaystyle{ C(X) }[/math] с вещественной алгеброй [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^\kappa }[/math] функций [math]\displaystyle{ \kappa }[/math] от [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Литература

• Гордон Е. И., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Инфинитезимальный анализ. — Новосибирск: Институт математики, 2006.
• Дэвис М. Прикладной нестандартный анализ. — М.: Мир, 1980.
• Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ. — М.: Наука, 1987.