Комплексная функция

Эта статья — о функции комплексной переменной. О функции вещественной переменной с комплексными значениями см. комплекснозначная функция.

Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: [math]\displaystyle{ f\colon\Complex \to \Complex }[/math].

Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:

[math]\displaystyle{ f(z) = u(z)+i v(z) }[/math],

где [math]\displaystyle{ u(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ v(z) }[/math] — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]. В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} }[/math];

[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x} }[/math].

Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа [math]\displaystyle{ \mathrm{Re}\,z }[/math], мнимая часть [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,z }[/math], комплексное сопряжение [math]\displaystyle{ \bar z }[/math], модуль [math]\displaystyle{ r = |z| }[/math] и аргумент [math]\displaystyle{ \varphi(z) }[/math] аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.—Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.