Параметрическое представление
Параметрическое представление — используемая в математическом анализе разновидность представления переменных, когда их зависимость выражается через дополнительную величину — параметр.
Параметрическое представление функции
Предположим, что функциональная зависимость [math]\displaystyle{ y }[/math] от [math]\displaystyle{ x }[/math] задана не непосредственно как [math]\displaystyle{ y = f(x), }[/math] а через промежуточную величину [math]\displaystyle{ t. }[/math]
Тогда формулы:
- [math]\displaystyle{ x = \varphi(t);\ }[/math][math]\displaystyle{ y = \psi(t) }[/math]
задают параметрическое представление функции одной переменной.
Если предположить, что обе эти функции [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi }[/math] имеют производные и для [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] существует обратная функция [math]\displaystyle{ \theta, }[/math] явное представление функции выражается через параметрическое как[1]:
- [math]\displaystyle{ y = \psi[\theta(x)] = f(x) }[/math]
и производная функции [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] может быть вычислена как:
- [math]\displaystyle{ y'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}. }[/math]
Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры затруднительно или невозможно через элементарные функции.
Параметрическое представление уравнения
Параметрическое представление для более общего случая: когда переменные связаны уравнением (или системы уравнений, если переменных больше двух).
Параметрическое уравнение
 | Этот раздел не завершён. |
Близкое понятие — параметрическое уравнение[2] множества точек, когда координаты точек задаются как функции от некоторого набора свободных параметров. Если параметр один, мы получим параметрическое уравнение кривой.
- [math]\displaystyle{ x = x(t); y = y(t) }[/math] (кривая на плоскости),
- [math]\displaystyle{ x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) }[/math] (кривая в 3-мерном пространстве),
Выражая координаты точек поверхности через два свободных параметра, мы получим параметрическое задание поверхности.
Примеры
Уравнение окружности имеет вид:
- [math]\displaystyle{ x^2 + y^2 = r^2. }[/math]
Параметрическое уравнение окружности:
- [math]\displaystyle{ x = r~\cos~t~; }[/math] [math]\displaystyle{ y = r~\sin~t~;~~ 0\leq t \lt 2\pi }[/math]
Гипербола описывается следующим уравнением:
- [math]\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1. }[/math]
Параметрическое уравнение правой ветви гиперболы :
- [math]\displaystyle{ x = a~\operatorname{ch}~t }[/math][math]\displaystyle{ ;~y = b~\operatorname{sh}~t~;~~ -\infty \lt t \lt +\infty }[/math]