Кольцо многочленов

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k — это выражение вида

[math]\displaystyle{ p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0, }[/math]

где p₀, …, p_m — элементы k, коэффициенты p, а x, x ², … — формальные символы («степени x»). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены p_kx ^k с нулевым коэффициентом p_k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

[math]\displaystyle{ p = p_m x^m + p_{m - 1} x^{m - 1} + \cdots + p_1 x + p_0 = \sum_{k=0}^m p_k x^k. }[/math]

Кольцо многочленов k[x]

Множество всех многочленов с коэффициентами в [math]\displaystyle{ k }[/math] образует коммутативное кольцо, обозначаемое [math]\displaystyle{ k[x] }[/math] и называемое кольцом многочленов над [math]\displaystyle{ k }[/math]. Символ [math]\displaystyle{ x }[/math] обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] или над [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]. Однако, в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем [math]\displaystyle{ \mathbb F_p }[/math] из простого числа [math]\displaystyle{ p }[/math] элементов многочлены [math]\displaystyle{ x^{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ x^{p+1} }[/math] задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную [math]\displaystyle{ x }[/math] нельзя считать принадлежащей полю [math]\displaystyle{ k }[/math]; о кольце [math]\displaystyle{ k[x] }[/math] можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент [math]\displaystyle{ x }[/math] и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы [math]\displaystyle{ x }[/math] коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля [math]\displaystyle{ k }[/math], оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем [math]\displaystyle{ k }[/math]. Если рассматривать [math]\displaystyle{ k[x] }[/math] как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов [math]\displaystyle{ 1=x^0 }[/math], [math]\displaystyle{ x=x^1 }[/math], [math]\displaystyle{ x^2 }[/math] и т. д.

Разложение на простые в k[x]

В кольце k[x] один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию «степень многочлена» евклидовой функцией, а кольцо многочленов — евклидовым. Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя, а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными). Из этого также следует, что k[x] — область главных идеалов.

Факторкольца k[x]

Рассмотрим коммутативное кольцо L, содержащее поле k, такое что существует элемент θ кольца L, причем L порождается θ над k, то есть любой элемент L можно выразить через θ и коэффициенты из поля k с помощью операций сложения и умножения. Тогда существует единственный гомоморфизм колец φ из k[x] в L, «сохраняющий» k и отправляющий x в θ. Сюръективность этого отображения означает в точности то, что L порождется θ над k. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получаем, что L изоморфно факторкольцу k[x] по ядру φ; поскольку любой идеал в k[x] главный,

[math]\displaystyle{ L \simeq k[x]/(p). }[/math]

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее k, само является полем; обозначим его K. Простота фактормодуля по [math]\displaystyle{ (p) }[/math] равносильна неприводимости [math]\displaystyle{ p }[/math]. Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел, которое порождено над R элементом i, таким что i² + 1 = 0. Соответственно, многочлен x² + 1 неприводим над R и

[math]\displaystyle{ \mathbb{C} \simeq \mathbb{R}[x]/(X^2+1). }[/math]

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A, содержащего k и элемента a кольца A, коммутирующего со всеми элементами k, существует единственный гомоморфизм колец из k[x] в A, отправляющий x в a:

[math]\displaystyle{ \phi: k[x]\to A, \quad \phi(x)=a. }[/math]

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры.

Модули

k[x] — область главных идеалов, поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема. Эта классификация важна в теории линейных операторов, так как модули над k[x] взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на k-векторном пространстве.

Многочлены над кольцом

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако большая часть перечисленных выше свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако R[x] останется факториальным в том случае, если само R факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе).

Многочлены от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X₁,…, X_n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α₁,…, α_n), где каждое α_i — ненулевое целое число, пусть

[math]\displaystyle{ X^\alpha = \prod_{i=1}^n X_i^{\alpha_i} = X_1^{\alpha_1}\ldots X_n^{\alpha_n}, \quad p_\alpha = p_{\alpha_1\ldots\alpha_n}\in\mathbb{K}.\ }[/math]

X^α называется одночленом степени [math]\displaystyle{ |\alpha| = \sum_{i=1}^n \alpha_i }[/math]. Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: [math]\displaystyle{ \sum_\alpha p_\alpha X^\alpha }[/math].

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k[x₁,…, x_n]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k[x₁, x₂] изоморфно k[x₁][x₂], как и k[x₂][x₁]. Это кольцо играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями kⁿ известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

(слабая форма, алгебраически замкнутое поле) Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Тогда любой максимальный идеал m кольца k[x₁,…, x_n] имеет вид

[math]\displaystyle{ m = (x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n), \quad a = (a_1, \ldots, a_n) \in k^n. }[/math]

(слабая форма, любое поле коэффициентов) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k и I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в Kⁿ.
(сильная форма) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n] и V(I) — алгебраическое подмногообразие, Kⁿ определенное I. Пусть f — многочлен, равный нулю во всех точках V(I). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I.

Если использовать определение радикала идеала, эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I. Немедленное следствие из этой формы теоремы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами K[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями n-мерного аффинного пространства Kⁿ.

См. также

Литература

Tsit-Yuen Lam. A First Course in Noncommutative Rings. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95325-0.
Serge Lang. Algebra. — 3rd. — New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 211. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
M. Scott Osborne. Basic homological algebra. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. — Т. 196. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98934-1.