Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именуемые обобщёнными натуральными числами или числами Штайница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число [math]\displaystyle{ \omega }[/math] является формальным произведением:

[math]\displaystyle{ \omega = \prod_p p^{n_p}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ p }[/math] может быть любым простым числом, а каждое [math]\displaystyle{ n_p }[/math] является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут [math]\displaystyle{ v_p(\omega) }[/math] для обозначения [math]\displaystyle{ n_p }[/math]. Если не выполняется условие [math]\displaystyle{ n_p = \infty }[/math] и имеется только конечное число ненулевых [math]\displaystyle{ n_p }[/math], получаем стандартный натуральный ряд. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют любому данному простому числу делить число [math]\displaystyle{ \omega }[/math] «бесконечнократно», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.

Не существует естественного способа определить сложение на множестве супернатуральных чисел, но их можно перемножать: [math]\displaystyle{ \prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p} }[/math]. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости [math]\displaystyle{ \omega_1\mid\omega_2 }[/math] если [math]\displaystyle{ v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ p }[/math]. Можно также ввести для супернатуральных чисел понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя, определив

[math]\displaystyle{ \displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))} }[/math]

[math]\displaystyle{ \displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))} }[/math]

С помощью этих алгоритмов можно как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.

Обычные p-адические функции можно распространить на супернатуральные числа, определив [math]\displaystyle{ v_p(\omega)=n_p }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ p }[/math].

Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп; благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.

Ссылки

• Planet Math: Supernatural number