Пара (математика)
Пара в математике может быть определена с различных точек зрения.
Определение пары в формальной математике
Пусть [math]\displaystyle{ \mathbf T }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf U }[/math] — термы и [math]\displaystyle{ \complement }[/math] — субстантивный знак веса 2, тогда знакосочетание [math]\displaystyle{ \complement TU }[/math] также является термом и обозначается [math]\displaystyle{ (\mathbf{TU}) }[/math]. Подробнее: соотношение [math]\displaystyle{ (\exists x)(\exists y)(z=(x,\;y)) }[/math] обозначают словами «[math]\displaystyle{ z }[/math] есть пара».
Имеет место так называемая аксиома пары.
Аксиома пары
- [math]\displaystyle{ \forall x\forall y\forall x'\forall y' ((x,\;y)=(x',\;y')\to x=x'\land y=y'). }[/math]
Определение пары в теории множеств
Число элементов множества [math]\displaystyle{ A }[/math] равно 1, или [math]\displaystyle{ A }[/math] состоит из одного элемента [math]\displaystyle{ a }[/math], тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества [math]\displaystyle{ \{a\} }[/math] получается пустое множество: [math]\displaystyle{ A\setminus\{a\}=\varnothing }[/math].
Непустое множество [math]\displaystyle{ A }[/math] называется множеством из двух элементов, или парой: [math]\displaystyle{ A=\{a,\;b\} }[/math], если после вычитания из него множества, состоящего только из одного элемента [math]\displaystyle{ a\in A }[/math], останется множество, которое состоит также из одного элемента [math]\displaystyle{ b \in A }[/math]. При таком определении пары (как и вообще множества, состоящего из любого числа элементов) не зависит от выбора и порядка следования указанного элемента [math]\displaystyle{ a\in A }[/math][1].
Упорядоченная пара
Если задана пара [math]\displaystyle{ \{a,\;b\} }[/math], то множество [math]\displaystyle{ \{\{a\}, \{a,\;b\}\} }[/math] называется упорядоченной парой и обозначается [math]\displaystyle{ (a,\;b) }[/math]. При этом элемент [math]\displaystyle{ a }[/math] называется первым элементом, а элемент [math]\displaystyle{ b }[/math] — вторым элементом пары[2].
В формальной математике первый элемент упорядоченной пары [math]\displaystyle{ A=(a,\;b) }[/math] называется также первой координатой или первой проекцией и обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{pr}_1 A }[/math]. Аналогично второй элемент пары [math]\displaystyle{ A }[/math] называется второй координатой или второй проекцией и обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{pr}_2 A }[/math][3].
Литература
- ↑ Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985. — Т. 5. — С. 713. — 1060 с.
- ↑ Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. — С. 67. — 416 с.
- ↑ Бурбаки, Н. Теория множеств / Пер. с франц. — М.: Мир, 1965. — С. 82. — 457 с.