Норма (теория полей)

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n, [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование [math]\displaystyle{ x\mapsto \alpha x }[/math]. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается [math]\displaystyle{ N_K^E(\alpha) }[/math] или просто [math]\displaystyle{ N(\alpha) }[/math], если понятно, о каком расширении идет речь.

Свойства

[math]\displaystyle{ N(\alpha)=0 }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \alpha =0 }[/math].
[math]\displaystyle{ N_K^E(\alpha)=\alpha^{[E:K]} }[/math] для любого [math]\displaystyle{ \alpha \in K }[/math]
[math]\displaystyle{ N(\alpha\beta)=N(\alpha)\cdot N(\beta) }[/math]
Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений [math]\displaystyle{ K \subset E \subset F }[/math] имеем [math]\displaystyle{ N_K^E(N_E^F(\alpha))=N_K^F(\alpha) }[/math]
Если E = K(α) — простое алгебраическое расширение и f (x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ — минимальный многочлен α, то [math]\displaystyle{ N_K^E(\alpha)=(-1)^n a_0 }[/math]

Выражение нормы через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁, σ₂ … σ_m — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

[math]\displaystyle{ N_K^E(\alpha)=\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha) }[/math]

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда [math]\displaystyle{ N_K^E(\alpha)=(\sigma_1(\alpha)\sigma_2(\alpha)\ldots \sigma_m(\alpha))^{n/m}. }[/math]

Пример

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе [math]\displaystyle{ (1,i) }[/math] умножению на [math]\displaystyle{ a+bi }[/math] соответствует матрица

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}a & -b \\b & a \end{pmatrix} }[/math]

Определитель этой матрицы равен [math]\displaystyle{ a^2+b^2 }[/math], то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как [math]\displaystyle{ |z|^2=z\bar z, }[/math] и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.

См. также

Литература

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.