Движение (математика)
Движе́ние — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если [math]\displaystyle{ A' }[/math] и [math]\displaystyle{ B' }[/math] — образы точек [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math], то [math]\displaystyle{ A'B'=AB }[/math]. Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.
Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.
Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В частности, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.
Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.
Собственные и несобственные движения
Пусть [math]\displaystyle{ f\colon E \rightarrow E }[/math] — движение евклидова точечного пространства [math]\displaystyle{ E, }[/math] а [math]\displaystyle{ V }[/math] — пространство свободных векторов для пространства [math]\displaystyle{ E }[/math]. Линейный оператор [math]\displaystyle{ Df\colon V \rightarrow V, }[/math] ассоциированный с аффинным преобразованием [math]\displaystyle{ f, }[/math] является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо [math]\displaystyle{ 1 }[/math] (собственный ортогональный оператор), либо [math]\displaystyle{ -1 }[/math] (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если [math]\displaystyle{ \det Df = 1 }[/math]) и несобственные (если [math]\displaystyle{ \det Df = -1 }[/math])[1].
Собственные движения сохраняют ориентацию пространства [math]\displaystyle{ E, }[/math] несобственные — заменяют её на противоположную[2]. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями[3].
Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера [math]\displaystyle{ (O'; e'_1, \ldots, e'_n), }[/math] в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве [math]\displaystyle{ E }[/math] ортонормированный репер [math]\displaystyle{ (O; e_1, \ldots, e_n). }[/math] При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства [math]\displaystyle{ E }[/math] (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует[4].
В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства [math]\displaystyle{ E, }[/math] которое непрерывно зависит от параметра [math]\displaystyle{ t \in [t_0,t_1] }[/math] (при [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер [math]\displaystyle{ (O'; e'_1, \ldots, e'_n) }[/math] может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера [math]\displaystyle{ (O; e_1, \ldots, e_n) }[/math] тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково[5].
Частные виды изометрий
На прямой
Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным[6].
На плоскости
Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов[2]:
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Осевая симметрия (отражение);
- Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.
Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные[7].
В трёхмерном пространстве
Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов[2]:
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
- Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
- Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
- Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.
Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственными[7].
В n-мерном пространстве
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Simx2%3DtraslOK.png&width=231)
В [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.
В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).
Движения как суперпозиции симметрий
Любую изометрию в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений[8].
Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.
Общие свойства изометрий
- Суперпозиция изометрий также является изометрией[9].
- Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
- Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E)[10].
- Группа Iso(E) состоит из двух связных компонент: множества Iso+(E) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso–(E) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связна[3].
- Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.
Примечания
- ↑ Кострикин и Манин, 1986, с. 201—204.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Егоров И. П. . Движение // Математическая энциклопедия. Т. 2 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — 1104 стб. — Стб. 20—22.
- ↑ 3,0 3,1 Берже, 1984, с. 249.
- ↑ Александров, 1968, с. 259—262.
- ↑ Александров, 1968, с. 210, 214.
- ↑ Александров, 1968, с. 284.
- ↑ 7,0 7,1 Кострикин и Манин, 1986, с. 204.
- ↑ Берже, 1984, с. 255.
- ↑ Александров, 1968, с. 267.
- ↑ Кострикин и Манин, 1986, с. 202.
Литература
- Александров П. С. . Лекции по аналитической геометрии. — М.: Наука, 1968. — 912 с.
- Берже М. . Геометрия. Т. 1. — М.: Мир, 1984. — 560 с.
- Кострикин А. И., Манин Ю. И. . Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.