Дзета-функция Римана

Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Для термина «Функция Римана» см. также другие значения.

График дзета-функции Римана на действительной оси. Слева от нуля масштаб шкалы значений функции увеличен в 100 раз для наглядности

Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция [math]\displaystyle{ \displaystyle \zeta(s) }[/math] комплексного переменного [math]\displaystyle{ s = \sigma + it }[/math], при [math]\displaystyle{ \sigma \gt 1 }[/math], определяемая с помощью ряда Дирихле:

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots. }[/math]

В комплексной полуплоскости [math]\displaystyle{ \{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} s \gt 1\} }[/math] этот ряд сходится, является аналитической функцией от [math]\displaystyle{ s }[/math] и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки [math]\displaystyle{ s = 1 }[/math].

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.

В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s = 1/2 }[/math], то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Дзета-функция Римана для вещественных s > 1

Тождество Эйлера

В области [math]\displaystyle{ \{s \mid \operatorname{Re} s \gt 1\} }[/math] также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \prod_{\text{число }p \atop \text{простое}} \frac{1}{1 - p^{-s}}. }[/math]

Доказательство

Решето Эратосфена для поиска простых чисел используется в этом доказательстве

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \ldots }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^s} \zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \frac{1}{10^s} + \ldots }[/math]

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

[math]\displaystyle{ \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \ldots }[/math]

Повторяем для следующего:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{3^s} \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \frac{1}{27^s} + \frac{1}{33^s} + \ldots }[/math]

Опять вычитаем, получаем:

[math]\displaystyle{ \left(1 - \frac{1}{3^s}\right) \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \frac{1}{17^s} + \ldots, }[/math]

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

[math]\displaystyle{ \ldots \left(1 - \frac{1}{11^s}\right) \left(1 - \frac{1}{7^s}\right) \left(1 - \frac{1}{5^s}\right) \left(1 - \frac{1}{3^s}\right) \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = 1. }[/math]

Поделим обе стороны на всё, кроме [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \frac{1}{\left(1 - \dfrac{1}{2^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{3^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{5^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{7^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{11^s}\right) \ldots}, }[/math]

что можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:

[math]\displaystyle{ \zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}. }[/math]

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 1 }[/math], просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math].

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

Свойства

Дзета-функции Римана в комплексной плоскости

• Если взять асимптотическое разложение при [math]\displaystyle{ {N\rightarrow +\infty} }[/math] частичных сумм вида

  [math]\displaystyle{ \sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} = \zeta(s) + \frac{1}{1-s}N^{1-s} + \frac{1}{2}N^{-s} - \frac{1}{12}sN^{-1-s} + \dots }[/math],

справедливую для [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s\gt 1 }[/math], она же останется верной и для всех [math]\displaystyle{ s }[/math], кроме тех, для которых [math]\displaystyle{ 2-s\in {\mathbb N} }[/math] (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math]:

1. [math]\displaystyle{ \zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s}\right) }[/math], при [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s\gt 0 }[/math], кроме [math]\displaystyle{ s=1 }[/math];
2. [math]\displaystyle{ \zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s}\right) }[/math], при [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s\gt -1 }[/math], кроме [math]\displaystyle{ s=1 }[/math] или [math]\displaystyle{ 0 }[/math];
3. [math]\displaystyle{ \zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s} + \frac{1}{12}sN^{-1-s}\right) }[/math], при [math]\displaystyle{ {\rm Re}\, s\gt -2 }[/math], кроме [math]\displaystyle{ s=1 }[/math], [math]\displaystyle{ 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ -1 }[/math] и т. д.

• Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:

  [math]\displaystyle{ \zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle B_{2m} }[/math] — число Бернулли.

В частности, [math]\displaystyle{ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} }[/math] (ряд обратных квадратов), [math]\displaystyle{ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\ \ \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\ \ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}, \ \ \zeta(10) = \frac{\pi^{10}}{93555} }[/math]

• Кроме того, получено значение [math]\displaystyle{ \zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — полигамма-функция;
• Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное.
• При [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,s\gt 1 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle \mu(n) }[/math] — функция Мёбиуса
  • [math]\displaystyle{ \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle \lambda(n) }[/math] — функция Лиувиля
  • [math]\displaystyle{ \zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle \tau(n) }[/math] — число делителей числа [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle \nu(n) }[/math] — число простых делителей числа [math]\displaystyle{ \displaystyle n }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s} }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tau(n))^2}{n^s} }[/math]
• При [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,s\gt 2 }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi(n)}{n^s} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle \varphi(n) }[/math] — функция Эйлера
• [math]\displaystyle{ \displaystyle \zeta(s) }[/math] имеет в точке [math]\displaystyle{ \displaystyle s=1 }[/math] простой полюс с вычетом, равным 1.
• Дзета-функция при [math]\displaystyle{ \displaystyle s\ne 0, s\ne 1 }[/math] удовлетворяет уравнению:

  [math]\displaystyle{ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \displaystyle \Gamma(z) }[/math] — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал.

• Для функции

  [math]\displaystyle{ \xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s) }[/math],

введённой Риманом для исследования [math]\displaystyle{ \displaystyle \zeta(s) }[/math] и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s) }[/math].

Нули дзета-функции

Основная статья: Гипотеза Римана

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,s \lt 0 }[/math] функция [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: [math]\displaystyle{ 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots }[/math]. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, [math]\displaystyle{ \zeta(s) \neq 0 }[/math] при вещественных [math]\displaystyle{ s \in (0,1) }[/math]. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,s = \frac 1 2 }[/math] и лежат в полосе [math]\displaystyle{ 0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1 }[/math], которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\,s = \frac 1 2 }[/math].

Представления конкретных значений

ζ(2)

См. также: Ряд обратных квадратов

Из формулы [math]\displaystyle{ 2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle B_{2m} }[/math] — число Бернулли, получаем, что [math]\displaystyle{ \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} }[/math].

Другие представления в виде рядов

Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна [math]\displaystyle{ \zeta(2) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \zeta(2) &= 3 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \binom{2k}{k}} \\ \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} \zeta(2) &= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{(i-1)! (j-1)!}{(i+j)!} \end{align} }[/math]

Существуют также представления для [math]\displaystyle{ \zeta(2) }[/math] вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять [math]\displaystyle{ k }[/math]-й знак его записи без вычисления предыдущих:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \zeta(2)=\frac{27}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{64^{k}}\left[\frac{16}{(6 k+1)^{2}}-\frac{24}{(6 k+2)^{2}}-\frac{8}{(6 k+3)^{2}}-\frac{6}{(6 k+4)^{2}}+\frac{1}{(6 k+5)^{2}}\right] \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} \zeta(2)=\frac{4}{9} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{729^{k}}\left[\frac{243}{(12 k+1)^{2}}-\frac{405}{(12 k+2)^{2}}-\frac{81}{(12 k+4)^{4}}-\frac{27}{(12 k+5)^{2}}-\right.\\ -\left.\frac{72}{(12 k+6)^{2}}-\frac{9}{(12 k+7)^{2}}-\frac{9}{(12 k+8)^{2}}-\frac{5}{(12 k+10)^{2}}+\frac{1}{(12 k+11)^{2}}\right] \end{align} }[/math]

Интегральные представления

Ниже приведены формулы для [math]\displaystyle{ \zeta(2) }[/math] с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \zeta(2) & = -\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dx \\[6pt] & = \int_0^{\infty} \frac{x}{e^x-1} \, dx \\[6pt] & = \int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1+x)^2} \, dx \\[6pt] & = 2 + 2\int_1^{\infty} \frac{\lfloor x \rfloor -x}{x^3} \, dx \\[6pt] & = \exp\left(2 \int_2^{\infty} \frac{\pi(x)}{x(x^2-1)} \,dx\right) \\[6pt] & = \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-xy} \\[6pt] & = \frac{4}{3} \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-(xy)^2} \\[6pt] & = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x}{1-xy} \, dx \, dy + \frac{2}{3}. \end{align} }[/math]

Цепные дроби

Некоторые из представлений [math]\displaystyle{ \zeta(2) }[/math] в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math], дающими возможность доказать её иррациональность.

[math]\displaystyle{ \zeta(2) = \cfrac{2}{1 + \cfrac{1^4}{3+\cfrac{2^4}{5+\cfrac{3^4}{7+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(2n-1)+\dots}}}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \zeta(2) = 1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1+\cfrac{1\cdot2}{1+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2\cdot3}{1+\cfrac{3^2}{1+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{1+\cfrac{n\cdot (n+1)}{1+\dots}}}}}}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \zeta(2) = \cfrac{5}{3 + \cfrac{1^4}{25+\cfrac{2^4}{69+\cfrac{3^4}{135+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(11n^2-11n+3)+\dots}}}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \zeta(2) = \frac{5}{3}+\cfrac{1}{25 + \cfrac{1^4}{69+\cfrac{2^4}{135+\cfrac{3^4}{223+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(11n^2+11n+3)+\dots}}}}}} }[/math]

ζ(3)

Основная статья: Постоянная Апери

Одним из наиболее коротких представлений является [math]\displaystyle{ \zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2} }[/math], получаем, что [math]\displaystyle{ \zeta(3) \approx 1.2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553... }[/math] , где [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — полигамма-функция.

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \zeta(3) = [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1,\cdots] = }[/math]

[math]\displaystyle{ = 1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\ldots}}}}\; }[/math]

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

[math]\displaystyle{ \zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{4+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{12+\cfrac{2^3}{1 + \cfrac{2^3}{20+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{28+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^3}{1+\cfrac{n^3}{4(2n+1)+\dots}}}}}}}}}} }[/math]

Она может быть преобразована к виду:

[math]\displaystyle{ \zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{5-\cfrac{1^6}{21-\cfrac{2^6}{55-\cfrac{3^6}{119-\cfrac{4^6}{225-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots}}}}}}} }[/math]

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

[math]\displaystyle{ \zeta(3) = \frac{6}{5}-\cfrac{1^6}{117 - \cfrac{2^6}{535-\cfrac{3^6}{1436-\cfrac{4^6}{3105-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots}}}}}} }[/math]

ζ(4)

Из формулы [math]\displaystyle{ 2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m} }[/math], где [math]\displaystyle{ \displaystyle B_{2m} }[/math] — число Бернулли, получаем, что [math]\displaystyle{ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} }[/math].

ζ(5)

Одним из наиболее коротких представлений является [math]\displaystyle{ \zeta(5) = -\frac{\psi^{(4)}(1)}{24} }[/math], получаем, что [math]\displaystyle{ \zeta(5) \approx 1.0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779... }[/math] , где [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — полигамма-функция.

Обобщения

Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:

• Дзета-функция Гурвица:

  [math]\displaystyle{ \zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s}, }[/math]

которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Полилогарифм:

  [math]\displaystyle{ \mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}, }[/math]

который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.

• Дзета-функция Лерха:

  [math]\displaystyle{ \Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s}, }[/math]

которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

• Квантовый аналог (q-аналог).

Аналогичные конструкции

В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора. Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр [math]\displaystyle{ \mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \} }[/math]. Причём существует вещественное число [math]\displaystyle{ \alpha \gt 0 }[/math], такое, что оператор [math]\displaystyle{ (I + A)^{- \alpha} }[/math] имеет след. Тогда дзета-функция [math]\displaystyle{ \zeta_A(s) }[/math] оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] определяется для произвольного комплексного числа [math]\displaystyle{ s }[/math], лежащего в полуплоскости [math]\displaystyle{ \mathrm{Re} s \gt \alpha }[/math], может быть задана сходящимся рядом

[math]\displaystyle{ \zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s} }[/math]

Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки [math]\displaystyle{ s = 0 }[/math], то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора [math]\displaystyle{ A }[/math] в соответствии с формулой

[math]\displaystyle{ \det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}. }[/math]

История

Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

См. также

• Список всех дзета-функций

Литература

• Дербишир Дж. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — М.: Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
• Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
• Шаблон:ЯнкеЭмдеЛёш

Ссылки

• Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.