Степенная функция
Степенна́я фу́нкция — функция [math]\displaystyle{ y=x^a }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] (показатель степени) — некоторое вещественное число[1][2]. К степенным часто относят и функцию вида [math]\displaystyle{ y=kx^a }[/math], где [math]\displaystyle{ k }[/math] — некоторый (ненулевой) коэффициент[3]. Существует также комплексное обобщение степенной функции .
Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.
Вещественная функция
Область определения
Для целых положительных показателей [math]\displaystyle{ a }[/math] степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных [math]\displaystyle{ a }[/math], функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)[4].
Для рациональных [math]\displaystyle{ a=\frac{p}{q}\ (q\gt 0) }[/math] область определения зависит от чётности [math]\displaystyle{ q }[/math] и от знака [math]\displaystyle{ p. }[/math] так как [math]\displaystyle{ x^a = \sqrt[q]{x^p}. }[/math]:
- Если [math]\displaystyle{ q }[/math] нечётно и [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён на всей числовой прямой.
- Если [math]\displaystyle{ q }[/math] нечётно и [math]\displaystyle{ p\lt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён на всей числовой прямой, кроме нуля.
- Если [math]\displaystyle{ q }[/math] чётно и [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён при неотрицательных [math]\displaystyle{ x. }[/math]
- Если [math]\displaystyle{ q }[/math] чётно и [math]\displaystyle{ p\lt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён при положительных [math]\displaystyle{ x. }[/math]
Для вещественного показателя [math]\displaystyle{ a }[/math] степенная функция [math]\displaystyle{ x^a }[/math], вообще говоря, определена только при [math]\displaystyle{ x\gt 0. }[/math] Если [math]\displaystyle{ a\gt 0, }[/math] то функция определена и в нуле[4].
Целочисленный показатель степени
Графики степенной функции [math]\displaystyle{ y=x^n }[/math] при целочисленном показателе [math]\displaystyle{ n }[/math]:
-
Параболы порядка n: [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] [math]\displaystyle{ n=4 }[/math] [math]\displaystyle{ n=5 }[/math] -
Гиперболы порядка n: [math]\displaystyle{ n=-1 }[/math] [math]\displaystyle{ n=-2 }[/math] [math]\displaystyle{ n=-3 }[/math]
При нечётном [math]\displaystyle{ n }[/math] графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] степенная функция чётна: [math]\displaystyle{ (-x)^n = x^n, }[/math] её график симметричен относительно оси ординат[5].
Графики степенной функции при натуральном показателе [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] называются параболами порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] функция всюду неотрицательна (см. графики). При [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] получается функция [math]\displaystyle{ y=kx }[/math], называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью[3][5].
Графики функций вида [math]\displaystyle{ y=x^{-n} = \frac{1}{x^n} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, называются гиперболами порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. При нечётном [math]\displaystyle{ n }[/math] оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики)[6]. При показателе [math]\displaystyle{ -1 }[/math] получается функция [math]\displaystyle{ y=\frac {k}{x} }[/math], называемая обратной пропорциональной зависимостью[3][5].
При [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] функция вырождается в константу: [math]\displaystyle{ y=1. }[/math]
Рациональный показатель степени
-
Графики степенных функций с рациональным показателем
-
Полукубические параболы [math]\displaystyle{ y=ax^{3/2} }[/math]
Возведение в рациональную степень [math]\displaystyle{ p/q }[/math] определяется формулой:
- [math]\displaystyle{ x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}. }[/math]
Если [math]\displaystyle{ p=1 }[/math], то функция представляет собой арифметический корень степени [math]\displaystyle{ q }[/math]:
- [math]\displaystyle{ y=x^{1/q} = \sqrt[q]x. }[/math]
Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период [math]\displaystyle{ T }[/math] обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью [math]\displaystyle{ A }[/math] её орбиты соотношением: [math]\displaystyle{ T=kA^{3/2} }[/math] (полукубическая парабола).
Свойства
Монотонность
В интервале [math]\displaystyle{ (0, \infty) }[/math] функция монотонно возрастает при [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] и монотонно убывает при [math]\displaystyle{ a\lt 0. }[/math] Значения функции в этом интервале положительны[3].
Аналитические свойства
Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена[4].
Производная функции: [math]\displaystyle{ \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1} }[/math].
Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если [math]\displaystyle{ a \lt n }[/math], то [math]\displaystyle{ n }[/math]-я производная в нуле не определена. Например, функция [math]\displaystyle{ y=\sqrt{x} = x^{1/2} }[/math] определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math] в нуле не определена.
- Если [math]\displaystyle{ a \ne -1 }[/math], то [math]\displaystyle{ \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C }[/math]
- При [math]\displaystyle{ a = -1 }[/math] получаем: [math]\displaystyle{ \int \frac {1} {x} dx = \ln |x| + C }[/math]
Таблица значений малых степеней
n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
9 | 81 | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Комплексная функция
Степенная функция комплексного переменного [math]\displaystyle{ z }[/math] в общем виде определяется формулой[7]:
- [math]\displaystyle{ y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)} }[/math]
Здесь показатель степени [math]\displaystyle{ c }[/math] — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение [math]\displaystyle{ i^i }[/math] равно [math]\displaystyle{ e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}, }[/math] где [math]\displaystyle{ k }[/math] — произвольное целое, а его главное значение есть [math]\displaystyle{ e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}. }[/math]
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.
- При натуральном показателе степени функция [math]\displaystyle{ y=z^n }[/math] однозначна и n-листна[8].
- Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math], то у функции будет [math]\displaystyle{ q }[/math] различных значений[7].
См. также
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций..
- ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
- ↑ Перейти обратно: 3,0 3,1 3,2 3,3 Математическая энциклопедия, 1985.
- ↑ Перейти обратно: 4,0 4,1 4,2 4,3 БРЭ.
- ↑ Перейти обратно: 5,0 5,1 5,2 Математический энциклопедический словарь, 1988.
- ↑ Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 171—172. — 544 с.
- ↑ Перейти обратно: 7,0 7,1 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527..
- ↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.
Литература
- Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
- Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
Ссылки
- Степенная функция // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.