Степенная функция

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Степенна́я фу́нкцияфункция [math]\displaystyle{ y=x^a }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] (показатель степени) — некоторое вещественное число[1][2]. К степенным часто относят и функцию вида [math]\displaystyle{ y=kx^a }[/math], где [math]\displaystyle{ k }[/math] — некоторый (ненулевой) коэффициент[3]. Существует также комплексное обобщение степенной функции[⇨].

Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция

Область определения

Для целых положительных показателей [math]\displaystyle{ a }[/math] степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для отрицательных [math]\displaystyle{ a }[/math], функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой)[4].

Для рациональных [math]\displaystyle{ a=\frac{p}{q}\ (q\gt 0) }[/math] область определения зависит от чётности [math]\displaystyle{ q }[/math] и от знака [math]\displaystyle{ p. }[/math] так как [math]\displaystyle{ x^a = \sqrt[q]{x^p}. }[/math]:

  • Если [math]\displaystyle{ q }[/math] нечётно и [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён на всей числовой прямой.
  • Если [math]\displaystyle{ q }[/math] нечётно и [math]\displaystyle{ p\lt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён на всей числовой прямой, кроме нуля.
  • Если [math]\displaystyle{ q }[/math] чётно и [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён при неотрицательных [math]\displaystyle{ x. }[/math]
  • Если [math]\displaystyle{ q }[/math] чётно и [math]\displaystyle{ p\lt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ x^{p/q} }[/math] определён при положительных [math]\displaystyle{ x. }[/math]

Для вещественного показателя [math]\displaystyle{ a }[/math] степенная функция [math]\displaystyle{ x^a }[/math], вообще говоря, определена только при [math]\displaystyle{ x\gt 0. }[/math] Если [math]\displaystyle{ a\gt 0, }[/math] то функция определена и в нуле[4].

Целочисленный показатель степени

Графики степенной функции [math]\displaystyle{ y=x^n }[/math] при целочисленном показателе [math]\displaystyle{ n }[/math]:

При нечётном [math]\displaystyle{ n }[/math] графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] степенная функция чётна: [math]\displaystyle{ (-x)^n = x^n, }[/math] её график симметричен относительно оси ординат[5].

Графики степенной функции при натуральном показателе [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math] называются параболами порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] функция всюду неотрицательна (см. графики). При [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] получается функция [math]\displaystyle{ y=kx }[/math], называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью[3][5].

Графики функций вида [math]\displaystyle{ y=x^{-n} = \frac{1}{x^n} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное число, называются гиперболами порядка [math]\displaystyle{ n }[/math]. При нечётном [math]\displaystyle{ n }[/math] оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном [math]\displaystyle{ n }[/math] асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики)[6]. При показателе [math]\displaystyle{ -1 }[/math] получается функция [math]\displaystyle{ y=\frac {k}{x} }[/math], называемая обратной пропорциональной зависимостью[3][5].

При [math]\displaystyle{ a=0 }[/math] функция вырождается в константу: [math]\displaystyle{ y=1. }[/math]

Рациональный показатель степени

Возведение в рациональную степень [math]\displaystyle{ p/q }[/math] определяется формулой:

[math]\displaystyle{ x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ p=1 }[/math], то функция представляет собой арифметический корень степени [math]\displaystyle{ q }[/math]:

[math]\displaystyle{ y=x^{1/q} = \sqrt[q]x. }[/math]

Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период [math]\displaystyle{ T }[/math] обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью [math]\displaystyle{ A }[/math] её орбиты соотношением: [math]\displaystyle{ T=kA^{3/2} }[/math] (полукубическая парабола).

Свойства

Монотонность

В интервале [math]\displaystyle{ (0, \infty) }[/math] функция монотонно возрастает при [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math] и монотонно убывает при [math]\displaystyle{ a\lt 0. }[/math] Значения функции в этом интервале положительны[3].

Аналитические свойства

Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена[4].

Производная функции: [math]\displaystyle{ \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1} }[/math].

Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если [math]\displaystyle{ a \lt n }[/math], то [math]\displaystyle{ n }[/math]-я производная в нуле не определена. Например, функция [math]\displaystyle{ y=\sqrt{x} = x^{1/2} }[/math] определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная [math]\displaystyle{ y=\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math] в нуле не определена.

Неопределённый интеграл[4]:

  • Если [math]\displaystyle{ a \ne -1 }[/math], то [math]\displaystyle{ \int x^a dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C }[/math]
  • При [math]\displaystyle{ a = -1 }[/math] получаем: [math]\displaystyle{ \int \frac {1} {x} dx = \ln |x| + C }[/math]

Таблица значений малых степеней

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Комплексная функция

Степенная функция комплексного переменного [math]\displaystyle{ z }[/math] в общем виде определяется формулой[7]:

[math]\displaystyle{ y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)} }[/math]

Здесь показатель степени [math]\displaystyle{ c }[/math] — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение [math]\displaystyle{ i^i }[/math] равно [math]\displaystyle{ e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}, }[/math] где [math]\displaystyle{ k }[/math] — произвольное целое, а его главное значение есть [math]\displaystyle{ e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}. }[/math]

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция [math]\displaystyle{ y=z^n }[/math] однозначна и n-листна[8].
  2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь [math]\displaystyle{ \frac{p}{q} }[/math], то у функции будет [math]\displaystyle{ q }[/math] различных значений[7].

См. также

Примечания

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций..
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 Математическая энциклопедия, 1985.
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 БРЭ.
  5. 5,0 5,1 5,2 Математический энциклопедический словарь, 1988.
  6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — С. 171—172. — 544 с.
  7. 7,0 7,1 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527..
  8. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.

Литература

Ссылки