Функция Жуковского

Пример действия функции Жуковского — окружность (вверху) отображается на профиль Жуковского — Чаплыгина (внизу)

Функция Жуковского — конформное отображение, используемое для описания некоторых принципов, связанных с профилями крыльев самолётов. Названа в честь Н. Е. Жуковского из-за приложений, которые он дал этой функции в аэродинамике. Относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа, так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского.

Определение

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости [math]\displaystyle{ f: \mathbb{C} \setminus \{0\} \to \mathbb{C} }[/math] по формуле

[math]\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{2} \left(z+\frac{1}{z}\right). }[/math]

Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-рациональной и квадратичной функции:

[math]\displaystyle{ f(z) = (S_1^{-1} \circ S_2\circ S_1)(z), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ S_1(z) = \frac{z - 1}{z + 1}, \; S_2(z) = z^2. }[/math]

Свойства

• [math]\displaystyle{ f(z) = f\left(\frac{1}{z}\right) }[/math].
• Обратной к функции Жуковского является функция [math]\displaystyle{ g(z) = z + \sqrt{z^2 - 1} }[/math].
• [math]\displaystyle{ f'(z) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{z^2} \right) }[/math] отлична от нуля при [math]\displaystyle{ z \neq \pm 1 }[/math]. Следовательно, отображение [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] является конформным везде, за исключением этих точек.
• Функция Жуковского совершает следующие конформные отображения:

• круг [math]\displaystyle{ \left\lbrace z: |z| \lt 1 \right\rbrace }[/math] на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку [math]\displaystyle{ (-1,1) }[/math] действительной оси.
• круг [math]\displaystyle{ \left\lbrace z: |z| \lt 1 \right\rbrace }[/math] с разрезами по отрезкам [math]\displaystyle{ (b,1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (-1,-a) }[/math], где [math]\displaystyle{ 0\lt a,b\lt 1 }[/math] на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку [math]\displaystyle{ \left( -\frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right), \frac{1}{2} \left( b + \frac{1}{b} \right) \right) }[/math].
• верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам [math]\displaystyle{ (-\infty,-1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (1,+\infty) }[/math] на действительной оси.
• полукруг [math]\displaystyle{ \left\lbrace z: |z| \lt 1, \mbox{Im} \, z \gt 0 \right\rbrace }[/math] на нижнюю полуплоскость.
• окружность, проходящая через точку [math]\displaystyle{ 1 }[/math] и содержащая точку [math]\displaystyle{ -1 }[/math], на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крыла.

Преобразование Кармана — Треффца

Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную [math]\displaystyle{ z }[/math] с преобразованной [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] равенством

[math]\displaystyle{ \frac{\zeta-k}{\zeta+k} = \frac{(z-1)^k}{(z+1)^k}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ k\lt 2 }[/math]. При [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] получается [math]\displaystyle{ \zeta = 2f(z) }[/math].

Литература

• Евграфов, М. А. Аналитические функции. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-014200-X.
• Маркушевич, А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.
• Milne-Thomson, L. M. Theoretical aerodynamics (англ.). — 4th ed. — New York: Dover Publications, 1973. — ISBN 0-486-61980-X.