Многочлен

Многочле́н (или полино́м от греч. πολυ- «много» + лат. nomen «имя») от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных [math]\displaystyle{ x_1, x_2, ... x_n }[/math]— это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

[math]\displaystyle{ P(x_1, \ldots, x_n)=\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math], где

[math]\displaystyle{ I=(i_1,i_2,\dots,i_n) }[/math] — набор из [math]\displaystyle{ n }[/math] целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,
[math]\displaystyle{ c_I }[/math] — число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мультииндекса [math]\displaystyle{ \mathit{I} }[/math].

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

[math]\displaystyle{ P(x)=c_0 + c_1x^1 + \dots + c_mx^m }[/math], где

[math]\displaystyle{ c_i }[/math] — фиксированные коэффициенты,
[math]\displaystyle{ x }[/math] — переменная.

С помощью многочлена вводятся понятия «алгебраическое уравнение», «алгебраическая функция» и «алгебраическое число».

Изучение и применение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в математическом анализе.

Благодаря тому, что вычисления, связанные с многочленами, просты по сравнению с более сложными классами функций, а также тому факту, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационную теорему Вейерштрасса), были развиты методы разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии. Её ключевым объектом являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

Связанные определения

Многочлен вида [math]\displaystyle{ c x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] называется одночленом или мономом мультииндекса [math]\displaystyle{ I=(i_1,\dots,\,i_n) }[/math].
Одночлен, соответствующий мультииндексу [math]\displaystyle{ I=(0,\dots,\,0) }[/math] называется свободным членом.
Полной степенью (ненулевого) одночлена [math]\displaystyle{ c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n} }[/math] называется целое число [math]\displaystyle{ |I|=i_1+i_2+\dots+i_n }[/math].
Множество мультииндексов [math]\displaystyle{ \mathit{I} }[/math], для которых коэффициенты [math]\displaystyle{ c_I }[/math] ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля либо принимается неопределённой, либо доопределяется значением [math]\displaystyle{ -1 }[/math] или [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] (см. степень нулевого многочлена).^[1]
Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом или триномом.
Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом [math]\displaystyle{ R }[/math] без делителей нуля) которое обозначается [math]\displaystyle{ R[x_1,x_2,\dots,x_n] }[/math].
Для многочлена [math]\displaystyle{ p(x) }[/math] одной переменной, решение уравнения [math]\displaystyle{ p(x)=0 }[/math] называется его корнем.

Полиномиальные функции

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — алгебра над кольцом [math]\displaystyle{ R. }[/math] Произвольный многочлен [math]\displaystyle{ p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] }[/math] определяет полиномиальную функцию

[math]\displaystyle{ p_R\colon A\to A. }[/math]

Чаще всего рассматривают случай [math]\displaystyle{ A=R. }[/math]

В случае, если [math]\displaystyle{ R }[/math] — поле вещественных или комплексных чисел (или любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция [math]\displaystyle{ f_p\colon R^n\to R }[/math] полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены [math]\displaystyle{ p_1(x)\equiv x }[/math] и [math]\displaystyle{ p_2(x)\equiv x^2 }[/math] из [math]\displaystyle{ \Z_2[x] }[/math] определяют тождественно равные функции [math]\displaystyle{ \Z_2\to\Z_2 }[/math].

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.

Виды многочленов

Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым, если его старший коэффициент равен единице.
Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
- Например [math]\displaystyle{ x^2+xy+y^2 }[/math] — однородный многочлен двух переменных, а [math]\displaystyle{ x^2+y+1 }[/math] не является однородным.
Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
- Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.
Теорема о рациональных корнях.

Делимость

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов [math]\displaystyle{ pq }[/math] делится на неприводимый многочлен [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], то p или q делится на [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен [math]\displaystyle{ x^4-2 }[/math], неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного [math]\displaystyle{ x }[/math] разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого [math]\displaystyle{ n\gt 2 }[/math] существуют многочлены от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется Многочлен Лорана.
Квазимногочлен
Тригонометрический многочлен
Степенной ряд

См. также

Литература

Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Примечания

↑ Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 1 мая 2021 года.

Ссылки

Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[1] Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. Архивировано 1 мая 2021 года.

[1]