Период (алгебраическая геометрия)

Для термина «период» см. также другие значения.

Период в алгебраической геометрии — вещественное число, которое может быть выражено как объём области в [math]\displaystyle{ \R^n }[/math], заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами. Сумма, разность и произведение периодов также являются периодами, поэтому множество всех периодов образует кольцо, таким образом, изучается кольцо периодов. Комплексное число называется периодом, если и действительная, и мнимая его части являются периодами.

Классический пример периода — число [math]\displaystyle{ \pi }[/math], являющееся площадью единичного круга [math]\displaystyle{ x^2+y^2 \leqslant 1 }[/math]. Кольцо периодов включает в себя все алгебраические числа и многие известные трансцендентные числа, в частности, периодами являются натуральный логарифм любого алгебраического числа, [math]\displaystyle{ \Gamma (p/q)^q }[/math] (гамма-функция, для любых натуральных [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math]), значения эллиптических интегралов от рациональных аргументов, значения дзета-функции Римана целых аргументов. Постоянная Хайтина [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] является примером числа, не являющегося периодом.

Любой период является вычислимым, следовательно, и арифметическим числом; при этом возможно построить вычислимое число, не являющееся периодом (например, с использованием диагонального метода). Множество периодов, равно как и множество всех чисел, не являющихся периодами, плотно в [math]\displaystyle{ \R }[/math] и в [math]\displaystyle{ \Complex }[/math]; кольцо периодов является счётным множеством, а его дополнение до [math]\displaystyle{ \R }[/math] или до [math]\displaystyle{ \Complex }[/math] — несчётным. Порядок на множестве действительных периодов изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

С периодами связан ряд открытых проблем, среди таковых:

• неизвестно, является ли кольцо периодов полем;
• неизвестно, являются ли числа [math]\displaystyle{ e }[/math], [math]\displaystyle{ 1/\pi }[/math] или [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] (постоянная Эйлера — Маскерони) периодами;
• неизвестно ни одного естественного примера (то есть не сконструированного специально для этой цели) вычислимого числа, не являющегося периодом;
• неизвестен алгоритм, который может определить, равны ли два периода, заданные своими системами неравенств. Также неизвестно, является ли эта задача вообще алгоритмически разрешимой.

Ссылки

• PlanetMath: Period (англ.)
• M. Kontsevich, D. Zagier, Periods (англ.)