Дистрибутивность

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон[1] — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+»[2], если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

[math]\displaystyle{ (\forall x,y,z)\,x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z ) }[/math] — дистрибутивность слева;
[math]\displaystyle{ (\forall x,y,z)\,( y + z ) \times x = ( y \times x ) + ( z \times x ) }[/math] — дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности[уточнить], то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Следствия

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

[math]\displaystyle{ -(x + y) = -1(x + y) = -1x + (-1)y = -x + (-y) = -x - y }[/math]

Аналогично,

[math]\displaystyle{ -(x-y) = -x + y; }[/math]
[math]\displaystyle{ -(x + y + z) = -x - y - z; }[/math]
[math]\displaystyle{ -(x + y - z) = - x - y + z; }[/math]
[math]\displaystyle{ -(x - y + z) = - x + y - z; }[/math]
[math]\displaystyle{ -(x - y - z) = - x + y + z }[/math]

Например,

[math]\displaystyle{ -(2 - 6 + 17) = -2 + 6 - 17 = - 13 }[/math]

Примечания

  1. Так это свойство называется в учебниках для младших классов
  2. Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.

См. также