Перейти к содержанию

Дельтаэдры

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Дельтаэдр»)
Наибольший строго выпуклый дельтаэдр является правильным икосаэдром
Усечённый тетраэдр с шестиугольниками, разбитыми на треугольники. Это тело не является строго выпуклым дельтаэдром, поскольку находящиеся в одной плоскости грани недопустимы по определению.

Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта ([math]\displaystyle{ \Delta }[/math]), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней[1].

Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.

Выпуклые дельтаэдры

Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров[2], 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.

У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранями[3]. Однако икосаэдр со стянутым ребром[англ.] даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.

Правильные дельтаэдры
Название Изображение Количество
вершин 		Количество
рёбер 		Количество
граней 		Конфигурация
вершины 		Группа симметрии
Правильный тетраэдр 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида) 6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3]
Правильный икосаэдр 12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3]
Дельтаэдры Джонсона
Треугольная бипирамида 5 9 6 2 × 33
3 × 34 		D3h, [3,2]
Пятиугольная бипирамида 7 15 10 5 × 34
2 × 35 		D5h, [5,2]
Плосконосый двуклиноид 8 18 12 4 × 34
4 × 35 		D2d, [2,2]
Трижды наращённая треугольная призма 9 21 14 3 × 34
6 × 35 		D3h, [3,2]
Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида 10 24 16 2 × 34
8 × 35 		D4d, [4,2]

Нестрого выпуклые случаи

Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как , , , , , , и , ...[4]

Некоторые небольшие примеры

Копланарные дельтаэдры
Рисунок Название Граней Рёбер Вершин Конфигурации вершин Группа симметрии
Наращенный октаэдр[англ.]
Наращение
1 тетр. + 1 окт. 		10 15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
4
3 		12
Треугольный трапецоэдр[англ.]
Наращение
2 тетр. + 1 окт. 		12 18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36 		C3v, [3]
6 12
Наращение
2 тетр. + 1 окт. 		12 18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
2
2
2 		11 7
Треугольная усечённая пирамида
Наращение
3 тетр. + 1 окт. 		14 21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36 		C3v, [3]
1
3
1 		9 6
Удлинённый октаэдр[англ.]
Наращение
2 тетр. + 2 окт. 		16 24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36 		D2h, [2,2]
4
4 		12 6
Тетраэдр
Наращение
4 тетр. + 1 окт. 		16 24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36 		Td, [3,3]
4 6 4
Наращение
3 тетр. + 2 окт. 		18 27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36 		D2h, [2,2]
2
1
2
2 		14 9
Икосаэдр со стянутым ребром[англ.] 18 27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36 		C2v, [2]
12
2 		22 10
Двуусечённая бипирамида[англ.]
Наращение
6 тетр. + 2 окт. 		20 30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36 		D3h, [3,2]
2
6 		15 9
Трёхскатный купол
Наращение
4 тетр. + 3 окт. 		22 33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36 		C3v, [3]
3
3
1
1 		15 9
Треугольная бипирамида
Наращение
8 тетр. + 2 окт. 		24 36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36 		D3h, [3]
6 9 5
Шестиугольная антипризма 24 36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36 		D6d, [12,2+]
12
2 		24 12
Усечённый тетраэдр
Наращение
6 тетр. + 4 окт. 		28 42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36 		Td, [3,3]
4
4 		18 12
Тетракискубоктаэдр[англ.]
Октаэдр
Наращение
8 тетр. + 6 окт. 		32 24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36 		Oh, [4,3]
8 12 6

Невыпуклые дельтаэдры

Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.

Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:

Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Триакисоктаэдр
(stella octangula) 		Пентакисдодекаэдр Триакисикосаэдр
12 треугольников 24 треугольников 60 треугольников

Другие наращения тетраэдров:

Примеры: Наращенные тетраэдры
8 треугольников 10 треугольников 12 треугольников

Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:


Выемчатый додекаэдр[англ.]
Тороидальный дельтаэдр
60 треугольников 48 треугольников

Примечания

  1. ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947, с. 115–128.
  2. ↑ Выпуклые дельтаэдры. Дата обращения: 6 июня 2016. Архивировано 26 сентября 2020 года.
  3. ↑ Trigg, 1978, с. 55–57.
  4. ↑ The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces. Дата обращения: 13 октября 2017. Архивировано 19 октября 2015 года.

Литература

  • Freudenthal H., van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // Simon Stevin. — 1947. — Т. 25. — С. 115–128. (Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )
  • Charles W. Trigg. An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — Т. 51, вып. 1. — С. 55–57. — JSTOR 2689647.


Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Дельтаэдры&oldid=5888782