Неравенство Брунна — Минковского
Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:
Формулировка
Пусть [math]\displaystyle{ K_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ K_1 }[/math] — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского [math]\displaystyle{ K_\lambda=(1-\lambda)K_0+\lambda K_1 }[/math], [math]\displaystyle{ \lambda\in[0,1] }[/math], то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств [math]\displaystyle{ K_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ K_1 }[/math] в отношении [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] к [math]\displaystyle{ (1-\lambda) }[/math]. Тогда функция
- [math]\displaystyle{ f(\lambda)=\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}K_\lambda} }[/math]
есть вогнутая функция от [math]\displaystyle{ \lambda }[/math].
Более того, функция [math]\displaystyle{ f(\lambda) }[/math] линейна в том и только в том случае, когда [math]\displaystyle{ K_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ K_1 }[/math] гомотетичны.
Замечания
- Неравенство легко выводится из своего частного случая
- [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\mathop{\rm vol}(A+B)} \ge \sqrt[n]{\mathop{\rm vol}A}+\sqrt[n]{\mathop{\rm vol}B} }[/math]
- для любых компактных выпуклых тел [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — в n-мерном пространстве.
Следствия
- Изодиаметрическое неравенство: В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра, шар имеет наибольший объём. Для доказательства теоремы достаточно применить неравенство Брунна — Минковского к данному телу [math]\displaystyle{ W }[/math] и к его центральносимметричной копии [math]\displaystyle{ W' }[/math].
- Теорема Линделёфа о многограннике: Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.
История
Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2].
Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман.[3] В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.
Вариации и обобщения
- Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём, которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.
Литература
- ↑ Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen (неопр.). — Leipzig: Teubner, 1896.
- ↑ Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (нем.) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : magazin. — 1935. — Bd. III. — S. 55—58.
- ↑ H. Hadwiger and D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8
- В. Бляшке, Круг и шар. М.: Наука, 1967.
- Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. — Наука, 1980.
- Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.