Ряд (математика)

Ряд, называемый также бесконечная сумма — одно из центральных понятий математического анализа. В простейшем случае ряд записывается как бесконечная сумма чисел:

[math]\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+\ldots +a_n+\ldots\quad }[/math] Краткая запись: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math] (иногда нумерацию слагаемых начинают не с 1, а с 0)

Здесь [math]\displaystyle{ a_1, a_2,a_3\dots }[/math] — последовательность вещественных или комплексных чисел; эти числа называются членами ряда.

Чтобы присвоить числовому ряду значение суммы, рассмотрим последовательность «частичных сумм», которые получаются, если оборвать бесконечную сумму на каком-то члене:

[math]\displaystyle{ S_1=a_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ S_2=a_1 + a_2 }[/math]

[math]\displaystyle{ S_3=a_1 + a_2 + a_3 }[/math]

[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ S_n=a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n }[/math]

[math]\displaystyle{ \cdots }[/math]

Если последовательность частичных сумм имеет предел [math]\displaystyle{ S }[/math] (конечный или бесконечный), то говорят, что сумма ряда равна [math]\displaystyle{ S. }[/math] При этом, если предел конечен, то говорят, что ряд сходится. Если предел не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Для выяснения ключевого в анализе вопроса, сходится или нет заданный ряд, предложены многочисленные признаки сходимости.

Числовые ряды и их обобщения (см. ниже о нечисловых рядах) используются повсеместно в математическом анализе для вычислений, для анализа поведения разнообразных функций, при решении алгебраических или дифференциальных уравнений. Разложение функции в ряд можно рассматривать как обобщение задания вектора координатами, эта операция позволяет свести исследование сложной функции к анализу элементарных функций и облегчает численные расчёты. Ряды — незаменимый инструмент исследования не только в математике, но и в физике, астрономии, информатике, статистике, экономике и других науках.

Числовые ряды

Примеры

Сумма ряда. Диаграмма иллюстрирует три ряда по формуле геометрической прогрессии [math]\displaystyle{ 1(q^{n-1}) }[/math] с 6 членами, знаменатели прогрессии которых равны соответственно [math]\displaystyle{ 1/2, 1/3, 1/4 }[/math]. Каждый член отмечен своим цветом. Первый член равен 1, поскольку [math]\displaystyle{ 1(q^{n-1})=1(q^{1-1})=1(q^{0})=1 }[/math]. Вертикальная пунктирная линия показывает бесконечную сумму членов ряда, число к которому ряд бесконечно приближается но не может достигнуть, соответственно: [math]\displaystyle{ 2, 3/2, }[/math] и [math]\displaystyle{ 4/3 }[/math].

Анимация, показывающая сходимость частичных сумм геометрической прогрессии [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n}q^k }[/math] (красная линия) к её сумме [math]\displaystyle{ {1\over 1-q} }[/math] (синяя линия) при [math]\displaystyle{ |q|\lt 1 }[/math].

Простейшим примером сходящегося ряда является сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии [math]\displaystyle{ |q|\lt 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ a + aq + aq^2 + aq^3 + \dots }[/math]

Частичная сумма

[math]\displaystyle{ \begin{align} s_n &= aq^0 + aq^1 + aq^2 + aq^3 + \cdots + aq^{n-1}\\ &= \sum_{k=0}^{n-1} aq^k = \sum_{k=1}^{n} aq^{k-1}\\ &= \begin{cases} a\left(\frac{1-q^{n}}{1-q}\right), \text{ если } q \neq 1\\ an, \text{ если } q = 1 \end{cases} \end{align} }[/math]

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ \begin{align} s_n &= aq^0 + aq^1 + \cdots + aq^{n-1},\\ qs_n &= aq^1 + aq^2 + \cdots + aq^{n},\\ s_n - qs_n &= aq^0 - aq^{n},\\ s_n\left(1-q\right) &= a\left(1-q^{n}\right),\\ s_n &= a\left(\frac{1-q^{n}}{1-q}\right), \text{ for } q \neq 1. \end{align} }[/math]

То есть [math]\displaystyle{ S_n=a\cdot\frac{1-q^n}{1-q}. }[/math] Предел этого выражения [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} S_n = \frac{a}{1-q}, }[/math] это и есть сумма бесконечной геометрической прогрессии. Например, при [math]\displaystyle{ a=1, q=\frac{1}{2} }[/math] получается ряд, сумма которого равна 2:

[math]\displaystyle{ 2 = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots }[/math]

Десятичную дробь с бесконечной дробной частью можно рассматривать как сумму ряда; например, число [math]\displaystyle{ \pi=3{,}1415926\dots }[/math] есть сумма следующего ряда:

[math]\displaystyle{ 3+\frac{1}{10^1}+\frac{4}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\frac{5}{10^4}+\frac{9}{10^5}+\dots }[/math]

Более сложным примером является ряд обратных квадратов, сумму которого лучшие математики Европы не могли найти более 100 лет:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} }[/math]

Ряд [math]\displaystyle{ 1+1+1+\dots }[/math] расходится, сумма его бесконечна. Расходится и гармонический ряд:[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}={\infty}. }[/math] «Ряд Гранди» [math]\displaystyle{ 1-1+1-1+1-1\dots }[/math] расходится, его частичные суммы колеблются от 1 до 0, поэтому предела частичных сумм не существует, суммы у этого ряда нет.

Классификация

Положительный ряд — вещественный ряд, все члены которого неотрицательны. У положительных рядов сумма всегда существует, но может быть бесконечна.

Знакочередующийся ряд — вещественный ряд, в котором знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус и т. д. Для таких рядов существует простой признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся вариант приведенного выше гармонического ряда, в отличие от последнего, сходится:

[math]\displaystyle{ 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \ln(2) }[/math]

Абсолютная и условная сходимость

Говорят, что вещественный или комплексный ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей (абсолютных величин) его членов:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| }[/math]

Абсолютно сходящийся ряд сходится и в обычном смысле этого понятия. При этом всякий такой ряд обладает важным свойством переместительности: при любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда получается сходящийся ряд с той же суммой. В частности, у положительных сходящихся рядов можно как угодно переставлять члены ряда, на сходимость и на сумму это не влияет.

Если числовой ряд сходится, но не абсолютно, он называется условно сходящимся. Пример:

[math]\displaystyle{ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \dots }[/math] Сам ряд сходится, но ряд его абсолютных величин (гармонический ряд) расходится.

Свойства условно сходящихся рядов.

• Если ряд сходится условно, то как ряд из его положительных членов, так и ряд из его отрицательных членов расходятся.
  • Следствие (критерий абсолютной сходимости): ряд из вещественных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся как ряд из положительных его членов, так и ряд из отрицательных членов.
• (теорема Римана): Перестановкой членов условно-сходящегося ряда можно получить ряд с любой заданной вещественной суммой.

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty b_n }[/math]. Тогда:

• Их суммой называется ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n), }[/math] разностью — ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty (a_n - b_n). }[/math]

Если оба ряда сходятся к [math]\displaystyle{ S_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ S_2 }[/math] соответственно, то их сумма и разность также сходятся. Сумма сходящегося и расходящегося рядов всегда расходится:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } (a_n + b_n) = S_1 + S_2; \quad \sum_{n=1}^{\infty } (a_n - b_n) = S_1 - S_2 }[/math],

Если оба ряда сходятся абсолютно, то сумма и разность этих рядов также сходятся абсолютно.

• Их произведением Коши называется ряд [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty c_n }[/math], где:

[math]\displaystyle{ c_n=\sum_{k=1}^n a_k b_{n-k+1}=a_1b_1+(a_1b_2+a_2b_1)+(a_1b_3+a_2b_2+a_3b_1)+\dots+(a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1) }[/math]

Если хотя бы один из исходных рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Необходимый признак сходимости числового ряда

Основная статья: Необходимое условие сходимости рядов

Ряд [math]\displaystyle{ {a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3} + \ldots + {a}_{n} + \ldots }[/math] может сходиться лишь в том случае, когда член [math]\displaystyle{ {a}_{n} }[/math] (общий член ряда) с возрастанием его номера стремится к нулю:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty} {a}_{n} = 0. }[/math]

Это необходимый признак сходимости ряда, но он не является достаточным — у гармонического ряда, например, общий член с ростом номера неограниченно уменьшается, тем не менее ряд расходится. Если же общий член ряда не стремится к нулю, то ряд заведомо расходится.

Сходящиеся ряды

Свойство 1. Если ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} {a}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2} + {a}_{3} + {a}_{4} + \ldots }[/math] (1.1)

сходится и его сумма равна [math]\displaystyle{ S }[/math], то ряд

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} c{a}_{n} = c{a}_{1} + c{a}_{2} + c{a}_{3} + c{a}_{4} + \ldots }[/math] (1.2)

где [math]\displaystyle{ c }[/math] — произвольное число, также сходится и его сумма равна [math]\displaystyle{ cS }[/math]. Если же ряд (1.1) расходится и [math]\displaystyle{ c \neq 0 }[/math], то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2 (ассоциативный закон). В сходящемся ряде можно произвольно объединять соседние члены в группы без нарушения их порядка.

Этим свойством можно воспользоваться для доказательства расходимости ряда: если после указанной группировки получается расходящийся ряд, то и исходный ряд также расходится.

Нерешённые проблемы

До сих пор неизвестно, сходится ли «ряд Флинт Хиллз» (Flint Hills Series):

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\operatorname{cosec}^2(n)}{n^3} }[/math]

Если удастся доказать, что этот ряд сходится, то как следствие получится важный факт: мера иррациональности числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] меньше, чем 2,5.

Известно, что сумма ряда обратных квадратов и суммы других рядов с обратными чётными степенями выражаются через степени числа [math]\displaystyle{ \pi, }[/math] но мало что известно про сумму обратных кубов («константу Апери»):

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots \approx 1{,}202 056 9 }[/math].

Никто пока не сумел связать это значение с классическими константами или элементарными функциями.

Ряды с нечисловыми членами

Понятие бесконечного ряда и его суммы можно ввести не только для чисел, но и для других математических объектов, для которых определены сложение и понятие близости, позволяющее определить предел. Например, в анализе широко используются ряды из функций: степенные ряды, ряды Фурье, ряды Лорана. Членами ряда могут быть также векторы, матрицы и др.

Общее определение

Ряд (или бесконечная сумма) в математике — последовательность элементов (членов данного ряда) [math]\displaystyle{ a_1, a_2, a_3\dots }[/math] некоторого топологического векторного пространства, рассматриваемая вместе с множеством частичных сумм членов ряда (частичные суммы определяются так же, как и в числовых рядах). Если для последовательности частичных сумм определён предел: [math]\displaystyle{ S = \lim_{n\rightarrow \infty} S_n, }[/math] то значение [math]\displaystyle{ S }[/math] называется суммой данного ряда, а сам ряд называется сходящимся (в противном случае — расходящимся).

Ряды всегда можно почленно складывать или вычитать, причём сумма и разность сходящихся рядов также сходятся. Если члены рядов берутся из кольца или поля, то ряды сами образуют кольцо относительно сложения и произведения Коши.

Функциональные ряды

Основная статья: Функциональный ряд

Определение и свойства

Ряд называется функциональным, если все его члены — функции, определённые на некотором множестве:

[math]\displaystyle{ a_1(x)+a_2(x)+a_3(x)+\ldots +a_n(x)+\ldots;\quad }[/math] краткая запись: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x) }[/math]

Частичные суммы в этом случае также являются функциями, заданными на том же множестве. Ряд называется сходящимся на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], если при любом фиксированном [math]\displaystyle{ x_0 \in X }[/math] сходится числовой ряд:

[math]\displaystyle{ a_1(x_0)+a_2(x_0)+a_3(x_0)+\ldots +a_n(x_0)+\ldots }[/math]

Множество [math]\displaystyle{ X }[/math] называется областью сходимости ряда. Сумма ряда, очевидно, также является функцией на [math]\displaystyle{ X. }[/math]

Пример — разложение в ряд рациональной дроби:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots }[/math]

Этот ряд сходится в интервале [math]\displaystyle{ (-1;\;1) }[/math].

Среди основных типов функциональных рядов:

• степенные ряды (в частности, ряды Тейлора);
• тригонометрические ряды; в частности, ряды Фурье;
• ряды Лорана.

Кроме определённой выше «поточечной» сходимости, в разных пространствах могут быть использованы и другие нормы близости, от которых зависит существование предела частичных сумм. Например, можно определить «чебышёвскую норму».

Равномерная сходимость

Вообще говоря, свойства суммы могут отличаться от свойств членов ряда — например, сумма ряда непрерывных функций может не быть непрерывной.

Говорят, что сходящийся на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] функциональный ряд равномерно сходится (на этом множестве), если последовательность частичных сумм ряда равномерно сходится на [math]\displaystyle{ X }[/math].

Существуют несколько признаков, позволяющих убедиться в равномерной сходимости ряда:

• Признак Вейерштрасса
• Признак Абеля
• Признак Дирихле

Важность понятия равномерной сходимости ряда показывают следующие теоремы (все функции считаются вещественными).

• Сумма ряда из функций, непрерывных в некоторой точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], будет и сама непрерывна в этой точке при условии, что функциональный ряд в точке [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] сходится равномерно. В частности, сумма равномерно сходящегося ряда вещественных функций, непрерывных на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b], }[/math] также будет непрерывна на этом отрезке.
• Если функции [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] непрерывно дифференцируемы на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] и оба ряда:

[math]\displaystyle{ f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + \dots }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d f_1(x)}{dx} + \frac{d f_2(x)}{dx} + \frac{d f_3(x)}{dx} + \dots }[/math]

сходятся на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math], причём ряд производных сходится равномерно, то сумма ряда имеет производную, и дифференцировать ряд можно почленно:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx} (f_1(x) + f_2(x) + f_3(x) + \dots) = \frac{d f_1(x)}{dx} + \frac{d f_2(x)}{dx} + \frac{d f_3(x)}{dx} + \dots }[/math]

• Если функции [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] непрерывны на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] и ряд [math]\displaystyle{ f_1(x)+f_2(x)+\dots }[/math] сходится на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] равномерно к функции [math]\displaystyle{ F(x), }[/math] то интегрировать ряд можно почленно:

[math]\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} F(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty}\int\limits_{a}^{b} {f_n}(x)dx }[/math]

Условие равномерной сходимости гарантирует, что ряд справа сходится.

• Если функции [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] интегрируемы по Риману на отрезке [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] и ряд [math]\displaystyle{ f_1(x)+f_2(x)+\dots }[/math] сходится на [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] равномерно к функции [math]\displaystyle{ F(x), }[/math] то сумма ряда также будет интегрируема по Риману.

Пример неравномерно сходящегося степенного ряда — геометрическая прогрессия [math]\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3+\dots }[/math] В промежутке [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math] она сходится к функции [math]\displaystyle{ \frac{1}{1-x}, }[/math] но не равномерно (о чём свидетельствует бесконечный скачок суммы при приближении к 1).

Ряды матриц

В кольце числовых квадратных матриц фиксированного порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] назовём [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-окрестностью матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] множество матриц, все компоненты которых отличаются от соответствующих компонент [math]\displaystyle{ A }[/math] меньше, чем на [math]\displaystyle{ \varepsilon. }[/math] Опираясь на такую топологию, предел последовательности матриц определяется покомпонентно, то есть матрица [math]\displaystyle{ L }[/math] является пределом последовательности матриц [math]\displaystyle{ A_1, A_2, A_3 \dots }[/math], если каждая её компонента [math]\displaystyle{ L_{ik} }[/math] является пределом соответствующей последовательности [math]\displaystyle{ A_{ik}. }[/math]

Теперь можно определить по общим правилам ряды из числовых матриц, понятие сходимости ряда (в том числе абсолютной сходимости) и суммы сходящегося ряда. Другими словами, ряд матриц порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] сходится, если сходятся [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] рядов его компонент, и суммой будет матрица, содержащая соответствующие пределы этих рядов.

Степенной ряд для матриц имеет вид:

[math]\displaystyle{ a_0 I + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3 + \dots, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_0, a_1, \dots }[/math] — заданные числовые коэффициенты, [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичная матрица, [math]\displaystyle{ X }[/math] — матрица неизвестных. Этот ряд равносилен системе из [math]\displaystyle{ n^2 }[/math] числовых рядов. Для оценки его сходимости составим обычный степенной ряд из комплексных чисел:

[math]\displaystyle{ a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \dots }[/math]

Пусть радиус сходимости этого ряда равен [math]\displaystyle{ R. }[/math] Тогда верны следующие теоремы:

• Матричный степенной ряд абсолютно сходится для всех матриц, находящихся в [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]- окрестности нулевой матрицы, где [math]\displaystyle{ \varepsilon = R/n. }[/math]
• Если матричный степенной ряд сходится в области [math]\displaystyle{ |X| \lt P, }[/math] где [math]\displaystyle{ P }[/math] — матрица с положительными компонентами, [math]\displaystyle{ |X| }[/math] — матрица модулей неизвестных, то он в этой области сходится абсолютно.

Пример степенного ряда из матриц см. в статье Экспонента матрицы. С помощью рядов можно определить стандартные функции для квадратных матриц (например, синус).

Вариации и обобщения

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда, члены которого нумеруются не одним, а двумя индексами.

Обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда, выбор которой делает понятие суммы расходящегося (в классическом смысле) ряда приемлемым. Предложено множество вариантов такого обобщения: сходимость по Пуассону — Абелю, Борелю, Чезаро, Эйлеру, Ламберту и другие.

История

Античный период

Вычисление Архимедом площади сегмента параболы

Античные математики, в соответствии с пифагорейской идеологией, отвергали все актуально бесконечные понятия, в том числе и бесконечные ряды. Тем не менее некоторые ограниченные применения понятия ряда имели место. Например, Архимед для вычисления площади сегмента параболы фактически нашёл сумму бесконечной геометрической прогрессии:

[math]\displaystyle{ 1 + \frac{1}{4^1} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \cdots = {4 \over 3} }[/math]

Ван дер Варден пишет об этом: «Архимед не говорит о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ему ещё не известно выражение „сумма бесконечного ряда“, однако он прекрасно владеет сущностью этого понятия». В нескольких решённых Архимедом задачах на вычисление площади или объёма он использует, в современной терминологии, верхние и нижние интегральные суммы с неограниченно возрастающим числом членов. Из-за отсутствия понятия предела для обоснования результата использовался громоздкий метод исчерпывания.

Керальская школа

Математики Индии, не связанные пифагорейскими ограничениями, существенно продвинули теорию рядов и успешно её применяли. Наибольшего успеха в XV—XVI веках добилась Керальская школа астрономии и математики (южная Индия). Для астрономических вычислений керальцы смогли впервые в истории найти разложение тригонометрических и иных функций в бесконечные ряды:

[math]\displaystyle{ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots }[/math]

Общей теории таких разложения у них, впрочем, не было, для получения этих формул было проведено спрямление дуги окружности. В Европе аналогичный ряд для арктангенса впервые опубликовал Джеймс Грегори в 1671 году, а ряды для синуса и косинуса — Исаак Ньютон в 1666 году.

Из ряда для арктангенса керальцы получили хорошее приближение для числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math]: [math]\displaystyle{ 3{,}141592653. }[/math]

В Европе достижения керальской школы долгое время оставались неизвестными и были переоткрыты независимо.

XVII век

До примерно XVII века бесконечные ряды в трудах европейских математиков появлялись редко. Заслуживает упоминания труд английского математика XIV века Ричарда Суайнсхеда, который просуммировал ряд:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{2^1} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \frac{4}{2^4} + \frac{5}{2^5} + ... = 2. }[/math]

В XVII веке бесконечные ряды уже вызывают общий интерес и начинают использоваться при решении многих практических задач — приближённые вычисления, интерполирование, теория логарифмов и др.

Площадь под гиперболой [math]\displaystyle{ y=1/x }[/math] в интервале [math]\displaystyle{ (1,a) }[/math] равна [math]\displaystyle{ \ln(a) }[/math]

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение [math]\displaystyle{ \ln 2 }[/math] в бесконечный ряд:

[math]\displaystyle{ \ln 2 = \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6} \dots }[/math]

Менголи исследовал также другие ряды и доказал, что гармонический ряд расходится; Менголи также показал, что ряд обратных квадратов сходится, хотя не смог найти его сумму.

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции, тем самым положив начало теории степенных рядов:

[math]\displaystyle{ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots }[/math]

Как универсальный инструмент исследования функций и численных расчётов бесконечные ряды использовали Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц, создатели математического анализа. Ещё в середине XVII века Ньютон и Грегори открыли биномиальное разложение для любого, не только целого показателя степени [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] (впервые опубликован в «Алгебре» Валлиса, 1685 год):

[math]\displaystyle{ (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+... }[/math]

Ряд сходится при [math]\displaystyle{ |z| \leqslant 1. }[/math] С помощью этой формулы Ньютон сумел впервые выполнить вычисление дуги эллипса в виде ряда (в современной терминологии, он вычислил эллиптический интеграл). Ньютон также показал, как с помощью рядов решать уравнения, включая дифференциальные уравнения первого порядка, и исследовать интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

К концу XVII века стали известны разложения в ряды всех элементарных функций. Лейбниц и Грегори открыли (1674) первое в Европе разложение числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math] (ряд Лейбница):

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \cdots }[/math]

На рубеже веков (1689—1704) ученик Лейбница Якоб Бернулли опубликовал первую монографию в пяти томах под заголовком «Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах» (Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis carumque summa finita). Он показал применение рядов для решения самых разнообразных задач.

XVIII—XIX века

В 1715 году Брук Тейлор опубликовал фундаментальный ряд Тейлора (давно известный, впрочем, Грегори и Ньютону).

Огромный вклад в теорию рядов внёс Леонард Эйлер. Он первым сумел найти сумму ряда обратных квадратов, разработал методы улучшения сходимости рядов, начал исследование тригонометрических рядов, предложил понятие обобщённой суммы ряда, пригодное для расходящихся рядов. Само понятие «аналитической функции» было связано с возможностью её представления в виде степенного ряда.

В XIX веке Коши и Вейерштрасс построили строгие основания анализа и, в частности, строгую теорию рядов. Было введено важное понятие равномерной сходимости, сформулированы разнообразные признаки сходимости.

Бурное развитие получили теория тригонометрических рядов. Ещё Даниил Бернулли высказал убеждение, что любую (непрерывную) функцию на заданном промежутке можно представить тригонометрическим рядом. Дискуссии на эту тему продолжались до 1807 года, когда Фурье опубликовал теорию представления произвольных кусочно-аналитических функций тригонометрическими рядами (окончательный вариант содержится в его «Аналитической теории тепла», 1822). Для разложения функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] в ряд [math]\displaystyle{ f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n} \cos{nx} + b_{n} \sin{nx}) }[/math] Фурье привёл интегральные формулы расчёта коэффициентов. Изложение Фурье не было строгим в современном понимании, но уже содержало исследование сходимости большинства полученных им рядов.

Одновременно широкое развитие и применение в XIX веке получили ряды в комплексном анализе, в том числе ряды Лорана. Началось применение рядов в естественных науках — в небесной механике (для решения задачи трёх тел), в оптике, теории теплопроводности, ближе к концу века — в теории электромагнетизма.

В XX веке понятие ряда было распространено на широкий класс математических объектов, не обязательно числовых.

Литература

• Виленкин Н. Я., Цукерман В. В., Доброхотова М. А., Сафонов А. Н. Ряды. — М.: Просвещение, 1982. — 160 с.
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — 12-е изд.. — М.: Наука, 1977. — 872 с.
• Зорич В. А.. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Письменный Д. Т. Часть 2 // Конспект лекций по высшей математике. — 6-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
• Ряд // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 1063—1070.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — 6-е изд.. — М.: Наука, 1966. — Т. 2. — 680 с.

Ссылки

• Савельева Р. Ю. Высшая математика. Теория рядов.